ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$$\sin 2x+\mathrm{tg}x=2$$

Решить уравнение:

$$\sin 2x+\mathrm{tg}x=2;$$

$$\sin 2x + \operatorname{tg} x = 2;$$ $$\frac{2 \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} + \operatorname{tg} x = 2;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$\frac{2y}{1+y^2}+y=2;$$

$$\frac{2y}{1 + y^2} + y = 2;$$ $$2y+y(1+y^2)=2(1+y^2);$$

$$2y + y(1 + y^2) = 2(1 + y^2);$$ $$2y+y+y^3=2+2y^2;$$

$$2y + y + y^3 = 2 + 2y^2;$$ $$3y+y^3-2-2y^2=0;$$

$$3y + y^3 — 2 — 2y^2 = 0;$$ $$(y^3-y^2)-(y^2-y)+(2y-2)=0;$$

$$(y^3 — y^2) — (y^2 — y) + (2y — 2) = 0;$$ $$y^2(y-1)-y(y-1)+2(y-1)=0;$$

$$y^2(y — 1) — y(y — 1) + 2(y — 1) = 0;$$ $$(y — 1)(y^2 — y + 2) = 0;$$

Первое уравнение:

$$y-1=0;$$

$$y — 1 = 0;$$ $$y=1;$$

$$y = 1;$$ $$\mathrm{tg}x=1;$$

$$\operatorname{tg} x = 1;$$ $$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$y^2-y+2=0;$$

$$y^2 — y + 2 = 0;$$ $$D=1^2-4\cdot 2=1-8=-7;$$

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 = 1 — 8 = -7;$$ $$D < 0 \text{ — корней нет};$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{4} + \pi n}$.

Решить уравнение:

$$\sin 2x + \tg x = 2$$

Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество

$$\sin 2x = \frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x}$$

Подставим в уравнение:

$$\frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x} + \tg x = 2$$

Шаг 2: Вводим замену переменной

Пусть:

$$y = \tg x$$

Тогда:

$$\frac{2y}{1 + y^2} + y = 2$$

Шаг 3: Приводим левую часть к общему знаменателю

$$\frac{2y + y(1 + y^2)}{1 + y^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$2y + y + y^3 = 3y + y^3$$

Тогда уравнение:

$$\frac{3y + y^3}{1 + y^2} = 2$$

Шаг 4: Избавляемся от дроби

Умножим обе части уравнения на $1 + y^2$:

$$3y + y^3 = 2(1 + y^2)$$

Раскроем скобки справа:

$$3y + y^3 = 2 + 2y^2$$

Шаг 5: Переносим все в одну сторону

$$y^3 — 2y^2 + 3y — 2 = 0$$

Шаг 6: Находим рациональные корни

Подставим возможные значения: $y = \pm1, \pm2$

Проверим $y = 1$:

$$1^3 — 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 — 2 = 1 — 2 + 3 — 2 = 0$$

Значит, $y = 1$ — корень.

Разделим многочлен на $y — 1$:

$$y^3 — 2y^2 + 3y — 2 = (y — 1)(y^2 — y + 2)$$

Шаг 7: Решаем уравнение

$$(y — 1)(y^2 — y + 2) = 0$$

1) $y — 1 = 0 \Rightarrow y = 1$

$$\tg x = 1 \Rightarrow x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

2) $y^2 — y + 2 = 0$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 — 8 = -7 < 0$$

Корней нет (действительных).

Шаг 8: Проверка решения

Подставим $x = \frac{\pi}{4}$ в исходное уравнение:

$$\sin 2x + \tg x = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 1 = 2$$

Подходит.

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}}$$