ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) sinх · sin5х = cos4х;

б) cosх · cos5х = cos6x.

а)

$$\sin x \cdot \sin 5x = \cos 4x;$$ $$\frac{\cos(5x — x) — \cos(5x + x)}{2} = \cos 4x;$$ $$\cos 4x — \cos 6x = 2 \cos 4x;$$ $$\cos 4x + \cos 6x = 0;$$ $$2 \cos \frac{6x + 4x}{2} \cdot \cos \frac{6x — 4x}{2} = 0;$$ $$2 \cos 5x \cdot \cos x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 5x = 0;$$ $$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5} = \frac{\pi (1 + 2n)}{10};$$

Второе уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi (1 + 2n)}{2};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi (1 + 2n)}{10}};$$

б)

$$\cos x \cdot \cos 5x = \cos 6x;$$ $$\frac{\cos(5x + x) + \cos(5x — x)}{2} = \cos 6x;$$ $$\cos 6x + \cos 4x = 2 \cos 6x;$$ $$\cos 6x — \cos 4x = 0;$$ $$-2 \sin \frac{6x + 4x}{2} \cdot \sin \frac{6x — 4x}{2} = 0;$$ $$-2 \sin 5x \cdot \sin x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 5x = 0;$$ $$5x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{5};$$

Второе уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi n}{5}}.$$

а)

Решить уравнение:

$$\sin x \cdot \sin 5x = \cos 4x$$

Шаг 1: Используем формулу произведения синусов

Формула:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left[ \cos(A — B) — \cos(A + B) \right]$$

Применим её к $\sin x \cdot \sin 5x$:

$$\sin x \cdot \sin 5x = \frac{1}{2} \left[ \cos(5x — x) — \cos(5x + x) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos 4x — \cos 6x \right]$$

Подставим это в уравнение:

$$\frac{1}{2} (\cos 4x — \cos 6x) = \cos 4x$$

Шаг 2: Избавимся от дроби, умножив обе части на 2

$$\cos 4x — \cos 6x = 2 \cos 4x$$

Шаг 3: Переносим все в одну часть уравнения

$$\cos 4x — \cos 6x — 2 \cos 4x = 0$$

Упростим:

$$-\cos 4x — \cos 6x = 0$$

или:

$$\cos 4x + \cos 6x = 0$$

Шаг 4: Используем формулу суммы косинусов

Формула:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим к $\cos 4x + \cos 6x$:

$$\cos 4x + \cos 6x = 2 \cos\left(\frac{4x + 6x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{6x — 4x}{2}\right) = 2 \cos 5x \cdot \cos x$$

Значит:

$$2 \cos 5x \cdot \cos x = 0$$

Шаг 5: Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю

Рассматриваем два случая:

Случай 1: $\cos 5x = 0$

$$\cos 5x = 0$$

Решение:

$$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Делим обе части на 5:

$$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5} = \frac{\pi(1 + 2n)}{10}$$

Случай 2: $\cos x = 0$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi(1 + 2n)}{2},\quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 6: Найдём общее множество решений

Мы ищем все $x$, при которых исходное уравнение выполняется.

Но обратим внимание:
Решения из первого случая —

$$x = \frac{\pi(1 + 2n)}{10}$$

— также входят во второй случай (т.к. множество $\frac{\pi(1 + 2n)}{2}$ не совпадает с $\frac{\pi(1 + 2n)}{10}$, но часть значений может совпадать при некоторых $n$).

Однако в задаче финальный ответ сформулирован как:

$$\boxed{\frac{\pi(1 + 2n)}{10}}$$

Это наименьшая возможная периодическая форма решения (т.е. включает все значения, удовлетворяющие уравнению), потому принимается за окончательный ответ.

Ответ (а):

$$\boxed{\frac{\pi(1 + 2n)}{10}}$$

б)

Решить уравнение:

$$\cos x \cdot \cos 5x = \cos 6x$$

Шаг 1: Используем формулу произведения косинусов

Формула:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left[ \cos(A — B) + \cos(A + B) \right]$$

Применим к $\cos x \cdot \cos 5x$:

$$\cos x \cdot \cos 5x = \frac{1}{2} \left[ \cos(5x — x) + \cos(5x + x) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos 4x + \cos 6x \right]$$

Подставим в уравнение:

$$\frac{1}{2} (\cos 4x + \cos 6x) = \cos 6x$$

Шаг 2: Умножим обе части на 2

$$\cos 4x + \cos 6x = 2 \cos 6x$$

Шаг 3: Переносим в одну часть уравнения

$$\cos 4x + \cos 6x — 2 \cos 6x = 0$$

Упростим:

$$\cos 4x — \cos 6x = 0$$

Шаг 4: Преобразуем разность косинусов

Формула:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим к $\cos 4x — \cos 6x$:

$$\cos 4x — \cos 6x = -2 \sin\left(\frac{4x + 6x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{4x — 6x}{2}\right) = -2 \sin 5x \cdot \sin x$$

Итак:

$$-2 \sin 5x \cdot \sin x = 0$$

Шаг 5: Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю

Случай 1: $\sin 5x = 0$

$$5x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{5},\quad n \in \mathbb{Z}$$

Случай 2: $\sin x = 0$

$$x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 6: Объединение решений

Множество решений:

• $\frac{\pi n}{5}$ — включает $\pi n$ при $n = 0, 5, 10, \dots$, т.е. все $x = \pi n$ входят в это множество.

Значит, общее решение можно записать в виде:

$$\boxed{\frac{\pi n}{5}},\quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ (б):

$$\boxed{\frac{\pi n}{5}}$$