ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Применив подстановку у = cosх — sinх, решите уравнение 4 — 4(cosх — sinх) = sin2х.

Применив подстановку $y=\cos x-\sin x$, решить уравнения:

$4-4(\cos x-\sin x)=\sin 2x$;

$3-4(\cos x-\sin x)=-(1-\sin 2x)$;

$3-4(\cos x-\sin x)=-({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-2\sin x\cdot \cos x)$;

$3-4(\cos x-\sin x)=-(\cos x-\sin x{)}^2$;

Решение:

1) Пусть $y=\cos x-\sin x$, тогда:

$3-4y=-y^2;$
$y^2-4y+3=0;$

Дискриминант:
$D=4^2-4\cdot 3=16-12=4;$
Тогда:
$y_1=\frac{4-2}{2}=1\text{и}{y}_2=\frac{4+2}{2}=3;$

2) Первое уравнение:

$\cos x-\sin x=1;$
$\sin x-\cos x=-1;$

Решаем:
$-\sqrt{1+1}\cos (x+\arccos \frac{1}{\sqrt{1+1}})=-1;$
$\sqrt{2}\cos (x+\frac{\pi }{4})=1;$
$\cos (x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2};$

Отсюда:
$x+\frac{\pi }{4}=\pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n;$

Разделяем случаи:
$x_1=-\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}+2\pi n=-\frac{\pi }{2}+2\pi n;$
$x_2=-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}+2\pi n=2\pi n;$

3) Второе уравнение:

$\cos x-\sin x=3;$
Корней нет, так как:
$\cos x\le 1,\sin x\ge -1;$

Ответ:

$\boxed{{\displaystyle -\frac{\pi }{2}+2\pi n;2\pi n}}$

Применив подстановку $y=\cos x-\sin x$, решить уравнения:

$4-4(\cos x-\sin x)=\sin 2x$

$3-4(\cos x-\sin x)=-(1-\sin 2x)$

$3-4(\cos x-\sin x)=-({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-2\sin x\cdot \cos x)$

$3-4(\cos x-\sin x)=-(\cos x-\sin x{)}^2$

Общая подстановка:

Пусть:

$$y=\cos x-\sin x$$

Также вспомним, что:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x$$$${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$$

Уравнение 1:

$$4-4(\cos x-\sin x)=\sin 2x$$

Шаг 1: Подстановка

$$4-4y=\sin 2x$$

Шаг 2: Подставим формулу $\sin 2x=2\sin x\cos x$

$$4-4y=2\sin x\cos x$$

Теперь воспользуемся формулой:

$$(\cos x-\sin x{)}^2={\cos }^{2}x-2\sin x\cos x+{\sin }^{2}x=1-2\sin x\cos x\Rightarrow 2\sin x\cos x=1-y^2$$

Подставляем:

$$4-4y=1-y^2$$

Шаг 3: Преобразуем уравнение

$$4-4y=1-y^2\Rightarrow y^2-4y+3=0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Формула:

$$y=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a},\text{где }D=b^2-4ac$$

Для:

$$y^2-4y+3=0\Rightarrow a=1,b=-4,c=3$$$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$$

Корни:

$$y_1=\frac{4-\sqrt{4}}{2}=\frac{4-2}{2}=1$$$$y_2=\frac{4+\sqrt{4}}{2}=\frac{4+2}{2}=3$$

Найдём $x$, если $y=\cos x-\sin x=1$

Преобразуем:

$$\cos x-\sin x=1$$

Вспомним:

Сумму или разность синуса и косинуса удобно преобразовать через формулу:

$$a\cos x+b\sin x=R\cos (x-\phi )\text{или}R\sin (x+\alpha )$$

Здесь:

$$\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos (x+\frac{\pi }{4})$$

Проверим:

$$\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos (x+\frac{\pi }{4})\Rightarrow \sqrt{2}\cos (x+\frac{\pi }{4})=1$$

Разделим на $\sqrt{2}$:

$$\cos (x+\frac{\pi }{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решим тригонометрическое уравнение:

$$\cos (x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x+\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n$$

Решения:

• Первый случай:

$$x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi n\Rightarrow x=2\pi n$$

• Второй случай:

$$x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+2\pi n\Rightarrow x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$$

Теперь проверим второй корень $y=3$

$$\cos x-\sin x=3$$

Но:

$$\cos x\in [-1,1],\sin x\in [-1,1]\Rightarrow \cos x-\sin x\in [-2,2]$$

А значит, значение 3 недостижимо.

Отклоняем этот корень.

Ответ к уравнению 1:

$$\boxed{{\displaystyle x=2\pi n\text{и}x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}}}$$

Уравнение 2:

$$3-4(\cos x-\sin x)=-(1-\sin 2x)$$

Шаг 1: Подстановка $y=\cos x-\sin x$

$$3-4y=-(1-\sin 2x)=\sin 2x-1$$$$3-4y=\sin 2x-1\Rightarrow 4-4y=\sin 2x$$

Это то же самое уравнение, что и в пункте 1. Решение идентичное.

Ответ к уравнению 2:

$$\boxed{{\displaystyle x=2\pi n\text{и}x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}}}$$

Уравнение 3:

$$3-4(\cos x-\sin x)=-({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x)$$

Шаг 1: Слева — как обычно:

$$3-4y$$

Справа:

$$-({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x)=-(1-2\sin x\cos x)=2\sin x\cos x-1=\sin 2x-1$$

Уравнение снова:

$$3-4y=\sin 2x-1\Rightarrow 4-4y=\sin 2x$$

То же самое.

Ответ к уравнению 3:

$$\boxed{{\displaystyle x=2\pi n\text{и}x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}}}$$

Уравнение 4:

$$3-4(\cos x-\sin x)=-(\cos x-\sin x{)}^2$$

Подстановка:

$$3-4y=-y^2\Rightarrow y^2-4y+3=0$$

То же самое квадратное уравнение, как и в пункте 1.

Уже решено:
$y_1=1$, $y_2=3$

Проверяем как раньше:

• $y=1$ даёт:

$$x=2\pi n,x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$$

• $y=3$ — нет решений (вне допустимых значений)

Ответ к уравнению 4:

$$\boxed{{\displaystyle x=2\pi n\text{и}x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}}}$$

Итоговый ответ ко всем четырём уравнениям:

$$\boxed{{\displaystyle x=2\pi n\text{и}x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}}}$$