ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) sinх · cosх + 6cosх + 6 = 6sinх;

б) 5sin2x — 11cosх = 11sinх — 7.

a)

$$\sin x\cdot \cos x+6\cos x+6=6\sin x;$$

$$\sin x \cdot \cos x + 6 \cos x + 6 = 6 \sin x;$$ $$2\sin x\cdot \cos x+12\cos x+12=12\sin x;$$

$$2 \sin x \cdot \cos x + 12 \cos x + 12 = 12 \sin x;$$ $$12(\cos x-\sin x)+11=-(1-2\sin x\cdot \cos x);$$

$$12 (\cos x — \sin x) + 11 = -(1 — 2 \sin x \cdot \cos x);$$ $$12(\cos x-\sin x)+11=-({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-2\sin x\cdot \cos x);$$

$$12 (\cos x — \sin x) + 11 = -(\cos^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x);$$ $$12 (\cos x — \sin x) + 11 = -(\cos x — \sin x)^2;$$

Пусть $y = \cos x — \sin x$, тогда:

$$12y+11=-y^2;$$

$$12y + 11 = -y^2;$$ $$y^2+12y+11=0;$$

$$y^2 + 12y + 11 = 0;$$ $$D={12}^2-4\cdot 11=144-44=100,\text{тогда:}$$

$$D = 12^2 — 4 \cdot 11 = 144 — 44 = 100, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-12 — 10}{2} = -11 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-12 + 10}{2} = -1;$$

Первое уравнение:

$$\cos x-\sin x=-11\text{— корней нет};$$

$$\cos x — \sin x = -11 \quad \text{— корней нет};$$ $$\cos x \geq -1, \quad \sin x \leq 1;$$

Второе уравнение:

$$\cos x-\sin x=-1;$$

$$\cos x — \sin x = -1;$$ $$\sin x-\cos x=1;$$

$$\sin x — \cos x = 1;$$ $$-\sqrt{1+1}\cos (x+\arccos \frac{1}{\sqrt{1+1}})=1;$$

$$-\sqrt{1+1} \cos \left( x + \arccos \frac{1}{\sqrt{1+1}} \right) = 1;$$ $$\cos (x+\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}};$$

$$\cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}};$$ $$x+\frac{\pi }{4}=\pm (\pi -\arccos \frac{\sqrt{2}}{2})+2\pi n=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n;$$

$$x + \frac{\pi}{4} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x_1=\frac{\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}+2\pi n=-\pi +2\pi n;$$

$$x_1 = \frac{\pi}{4} — \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $\pi + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

б)

$$5\sin 2x-11\cos x=11\sin x-7;$$

$$5 \sin 2x — 11 \cos x = 11 \sin x — 7;$$ $$5+5\sin 2x=11(\sin x+\cos x)-2;$$

$$5 + 5 \sin 2x = 11 (\sin x + \cos x) — 2;$$ $$5({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cdot \cos x)=11(\sin x+\cos x)-2;$$

$$5 (\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x) = 11 (\sin x + \cos x) — 2;$$ $$5 (\sin x + \cos x)^2 = 11 (\sin x + \cos x) — 2;$$

Пусть $y = \sin x + \cos x$, тогда:

$$5y^2=11y-2;$$

$$5y^2 = 11y — 2;$$ $$5y^2-11y+2=0;$$

$$5y^2 — 11y + 2 = 0;$$ $$D={11}^2-4\cdot 5\cdot 2=121-40=81,\text{тогда:}$$

$$D = 11^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 — 40 = 81, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{11 — 9}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{11 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2;$$

Первое уравнение:

$$\sin x+\cos x=\frac{1}{5};$$

$$\sin x + \cos x = \frac{1}{5};$$ $$\sqrt{1+1}\cos (x-\arccos \frac{1}{\sqrt{1+1}})=\frac{1}{5};$$

$$\sqrt{1+1} \cos \left( x — \arccos \frac{1}{\sqrt{1+1}} \right) = \frac{1}{5};$$ $$\cos (x-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{10};$$

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{10};$$ $$x-\frac{\pi }{4}=\pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{10}+2\pi n;$$

$$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{10} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{10} + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x+\cos x=2;$$

$$\sin x + \cos x = 2;$$ $$\sqrt{1+1}\sin (x+\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+1}})=2;$$

$$\sqrt{1+1} \sin \left( x + \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+1}} \right) = 2;$$ $$\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \quad \text{— корней нет};$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{10} + 2\pi n$.

a)

Дано уравнение:

$$\sin x \cdot \cos x + 6 \cos x + 6 = 6 \sin x$$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей в дальнейшем (удобнее работать с $2\sin x \cos x$):

$$2 \sin x \cdot \cos x + 12 \cos x + 12 = 12 \sin x$$

Шаг 1. Переносим всё в одну часть уравнения:

$$2 \sin x \cdot \cos x + 12 \cos x + 12 — 12 \sin x = 0$$

Шаг 2. Перепишем так, чтобы можно было сгруппировать:

$$2 \sin x \cos x — 12 \sin x + 12 \cos x + 12 = 0$$

Шаг 3. Вспоминаем полезную подстановку:

Заметим, что в уравнении фигурируют выражения вида:

• $2 \sin x \cos x = \sin 2x$,
• $\cos x — \sin x$,
• а также, позже, подстановка $y = \cos x — \sin x$ будет удобна.

Однако пойдём по пути, предложенному в решении:

Шаг 4. Сделаем следующую замену:

$$y = \cos x — \sin x$$

Тогда:

$$(\cos x — \sin x)^2 = \cos^2 x + \sin^2 x — 2\sin x \cos x = 1 — 2 \sin x \cos x$$

Это позволяет выразить $2 \sin x \cos x = 1 — (\cos x — \sin x)^2$

Шаг 5. Вернёмся к уравнению:

$$2 \sin x \cos x + 12 \cos x + 12 = 12 \sin x$$

Теперь выразим $12 \cos x — 12 \sin x$ как $12 (\cos x — \sin x) = 12y$, и $2 \sin x \cos x = 1 — y^2$

Но всё ещё проще: подставим сразу в выражение:

$$12 (\cos x — \sin x) + 11 = — (1 — 2\sin x \cos x)$$

Это следующий шаг в предложенном решении. Так получим:

$$12y + 11 = — (1 — 2 \sin x \cos x)$$

Шаг 6. Перепишем правую часть с помощью квадрата разности:

Как выше:

$$1 — 2 \sin x \cos x = (\cos x — \sin x)^2 = y^2 \Rightarrow — (1 — 2 \sin x \cos x) = -y^2$$

Тогда уравнение:

$$12y + 11 = -y^2 \Rightarrow y^2 + 12y + 11 = 0$$

Шаг 7. Решим квадратное уравнение:

$$y^2 + 12y + 11 = 0 \Rightarrow D = 144 — 44 = 100 \Rightarrow y_{1,2} = \frac{-12 \pm 10}{2}$$ $$y_1 = -11, \quad y_2 = -1$$

Шаг 8. Проверим, какие значения возможны для $y = \cos x — \sin x$:

Поскольку:

$$(\cos x — \sin x)^2 \leq 2 \Rightarrow |y| \leq \sqrt{2}$$

Из этого:

• $y = -11$ — невозможен
• $y = -1$ — возможен

Шаг 9. Решаем уравнение:

$$\cos x — \sin x = -1 \Rightarrow \sin x — \cos x = 1$$

Теперь удобно использовать следующую тригонометрическую формулу:

$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin (x-\frac{\pi }{4})\Rightarrow \sqrt{2}\sin (x-\frac{\pi }{4})=1$$

$$\sin x — \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow \sqrt{2} \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = 1 \Rightarrow \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 10. Решаем:

$$x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$ $$\Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \pi + 2\pi n$$

Ответ (а):

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б)

Уравнение:

$$5 \sin 2x — 11 \cos x = 11 \sin x — 7$$

Шаг 1. Переносим всё в одну часть:

$$5 \sin 2x — 11 \cos x — 11 \sin x + 7 = 0$$

Шаг 2. Вспомним, что $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$$5 \cdot 2 \sin x \cos x — 11 \cos x — 11 \sin x + 7 = 0 \Rightarrow 10 \sin x \cos x — 11 \cos x — 11 \sin x + 7 = 0$$

Шаг 3. Попробуем сгруппировать:

Но гораздо проще использовать представление:

$$5 + 5 \sin 2x = 11 (\sin x + \cos x) — 2 \Rightarrow 5 + 10 \sin x \cos x = 11(\sin x + \cos x) — 2$$

Теперь выразим через $y = \sin x + \cos x$. Вспомним:

$$(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+2\sin x\cos x\Rightarrow$$

$$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x \Rightarrow 2\sin x \cos x = y^2 — 1 \Rightarrow 10\sin x \cos x = 5(y^2 — 1)$$

Шаг 4. Подставим всё в уравнение:

$$5+10\sin x\cos x=11y-2\Rightarrow 5+5(y^2-1)=11y-2\Rightarrow$$

$$5 + 10 \sin x \cos x = 11 y — 2 \Rightarrow 5 + 5(y^2 — 1) = 11 y — 2 \Rightarrow 5y^2 — 5 + 5 = 11y — 2 \Rightarrow 5y^2 = 11y — 2 \Rightarrow 5y^2 — 11y + 2 = 0$$

Шаг 5. Решаем квадратное уравнение:

$$D = 121 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 — 40 = 81 \Rightarrow y_1 = \frac{11 — 9}{10} = \frac{1}{5}, \quad y_2 = \frac{11 + 9}{10} = 2$$

Шаг 6. Проверим, допустимы ли значения $y = \sin x + \cos x$:

Так как:

$$(\sin x + \cos x)^2 \leq 2 \Rightarrow y \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \approx [-1.41, 1.41] \Rightarrow y = 2 \quad \text{— недопустимо}$$

Остаётся только:

$$y = \frac{1}{5}$$

Шаг 7. Решаем уравнение:

$$\sin x + \cos x = \frac{1}{5} \Rightarrow \sqrt{2} \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{5} \Rightarrow \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$$

Шаг 8. Получаем:

$$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left( \frac{\sqrt{2}}{10} \right) + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} \pm \arccos\left( \frac{\sqrt{2}}{10} \right) + 2\pi n$$

Ответ (б):

$$x = \frac{\pi}{4} \pm \arccos\left( \frac{\sqrt{2}}{10} \right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$