ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

$2(1 — \sin x — \cos x) + \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = 0;$

$2 — 2(\sin x + \cos x) + \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = 0;$

$2 — 2(\sin x + \cos x) + \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} = 0;$

$1 — (\sin x + \cos x) + \frac{1}{2 \sin x \cdot \cos x} = 0;$

$1 — (\sin x + \cos x) + \frac{1}{(\sin x + \cos x)^2 — 1} = 0;$

1) Пусть $y = \sin x + \cos x$, тогда:

$1 — y + \frac{1}{y^2 — 1} = 0,$
$(y^2 — 1) — y(y^2 — 1) + 1 = 0;$
$y^2 — 1 — y^3 + y + 1 = 0;$
$y^3 — y^2 — y = 0;$
$y(y^2 — y — 1) = 0;$

2) Первое уравнение:

$y = 0;$
$\sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x;$
$\operatorname{tg} x + 1 = 0;$
$\operatorname{tg} x = -1;$
$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$

3) Второе уравнение:

$y^2 — y — 1 = 0;$
$D = 1^2 + 4 = 1 + 4 = 5, \text{ тогда: }$
$y_1 = \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \text{ и } y_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} > \sqrt{2};$
$\sin x + \cos x = \frac{1 — \sqrt{5}}{2};$
$\sqrt{1 + 1} \cos \left( x — \operatorname{arccos} \frac{1}{\sqrt{1 + 1}} \right) = \frac{1 — \sqrt{5}}{2};$
$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2} — \sqrt{10}}{4};$
$x — \frac{\pi}{4} = \pm \operatorname{arccos} \frac{\sqrt{2} — \sqrt{10}}{4} + 2\pi n;$
$x = \frac{\pi}{4} \pm \operatorname{arccos} \frac{\sqrt{2} — \sqrt{10}}{4} + 2\pi n;$

Ответ:
$-\frac{\pi }{4}+\pi n;\frac{\pi }{4}\pm \arccos \frac{\sqrt{2}-\sqrt{10}}{4}+2\pi n\mathrm{.}$

Решить уравнение:

$$1 — (\sin x + \cos x) + \frac{1}{(\sin x + \cos x)^2 — 1} = 0$$

Шаг 1. Замена выражения

Обозначим:

$$y = \sin x + \cos x$$

Подставим это в уравнение:

$$1 — y + \frac{1}{y^2 — 1} = 0$$

Шаг 2. Приведение к общему знаменателю и раскрытие дробей

Перенесём всё в одну дробь, или избавимся от дроби. Домножим обе части уравнения на знаменатель $y^2 — 1$ (допустимо, если $y^2 — 1 \ne 0$, но мы рассмотрим случай отдельно потом):

$$(1 — y)(y^2 — 1) + 1 = 0$$

Раскроем скобки:

• Напомним: $(1 — y)(y^2 — 1) = (1 — y)(y — 1)(y + 1)$, но мы сделаем полное раскрытие вручную.

$$(1 — y)(y^2 — 1) = 1 \cdot y^2 — 1 — y \cdot y^2 + y = y^2 — 1 — y^3 + y$$

Теперь добавим «+1» (из уравнения):

$$y^2 — 1 — y^3 + y + 1 = 0$$

Упростим выражение:

$$— y^3 + y^2 + y = 0$$

Или:

$$y^3 — y^2 — y = 0$$

Шаг 3. Разложение на множители

Вынесем $y$ за скобку:

$$y(y^2 — y — 1) = 0$$

Таким образом, у нас два случая:

• $y = 0$
• $y^2 — y — 1 = 0$

Шаг 4. Первый случай: $y = 0$

Тогда:

$$\sin x + \cos x = 0$$

Разделим обе части на $\cos x$ (при $\cos x \ne 0$):

$$\frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \tan x = -1$$

Тогда:

$$x = -\arctan 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Это — первое семейство решений.

Шаг 5. Второй случай: $y^2 — y — 1 = 0$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$y^2 — y — 1 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5$$

Корни:

$$y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Оценим численно:

• $y_1 = \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 — 2.236}{2} \approx -0.618$
• $y_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 + 2.236}{2} \approx 1.618$

Теперь важно понять, допустимы ли эти значения для $\sin x + \cos x$.

Шаг 6. Область значений выражения $y = \sin x + \cos x$

Используем формулу:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{4} \right)$$

Значит:

$$— \sqrt{2} \le \sin x + \cos x \le \sqrt{2}$$

Анализируем:

• $y_1 \approx -0.618 \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \Rightarrow$ допустимо.
• $y_2 \approx 1.618 > \sqrt{2} \approx 1.414 \Rightarrow$ не допустимо.

Значит, оставляем только:

$$y = \frac{1 — \sqrt{5}}{2}$$

Шаг 7. Решаем уравнение $\sin x + \cos x = \frac{1 — \sqrt{5}}{2}$

Используем ту же формулу:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{4} \right)$$

Подставим:

$$\sqrt{2} \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1 — \sqrt{5}}{2}$$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\cos\left(x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1 — \sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} — \sqrt{10}}{4}$$

Обозначим:

$$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \left( \frac{\sqrt{2} — \sqrt{10}}{4} \right) + 2\pi n$$

Тогда:

$$x = \frac{\pi}{4} \pm \arccos \left( \frac{\sqrt{2} — \sqrt{10}}{4} \right) + 2\pi n$$

Это — второе семейство решений.

Итоговый ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{4} \pm \arccos \left( \frac{\sqrt{2} — \sqrt{10}}{4} \right) + 2\pi n; \quad n \in \mathbb{Z}$$