ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$$\sin 5x+\cos 5x=\sqrt{2}\cos 13x$$

Решить уравнение:

$$\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \cos 13x;$$ $$\sqrt{1+1} \cos \left( 5x — \arccos \frac{1}{\sqrt{1+1}} \right) = \sqrt{2} \cos 13x;$$ $$\sqrt{2} \cos \left( 5x — \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos 13x;$$ $$\cos 13x — \cos \left( 5x — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$-2 \sin \frac{13x — \left( 5x — \frac{\pi}{4} \right)}{2} \cdot \sin \frac{13x + \left( 5x — \frac{\pi}{4} \right)}{2} = 0;$$ $$\sin \left( 4x + \frac{\pi}{8} \right) \cdot \sin \left( 9x — \frac{\pi}{8} \right) = 0;$$

1) Первое уравнение:

$$\sin \left( 4x + \frac{\pi}{8} \right) = 0;$$ $$4x + \frac{\pi}{8} = \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \left( -\frac{\pi}{8} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{4};$$

2) Второе уравнение:

$$\sin \left( 9x — \frac{\pi}{8} \right) = 0;$$ $$9x — \frac{\pi}{8} = \pi n;$$ $$x = \frac{1}{9} \left( \frac{\pi}{8} + \pi n \right) = \frac{\pi}{72} + \frac{\pi n}{9};$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}; \quad \frac{\pi}{72} + \frac{\pi n}{9}.$$

Решить уравнение:

$$\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \cos 13x$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть

Выражение:

$$\sin 5x + \cos 5x$$

можно привести к одной тригонометрической функции. Используем формулу:

$$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos\left( \theta — \arccos\left( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right) \right)$$

или

$$\sin A + \cos A = \sqrt{2} \cos\left( A — \frac{\pi}{4} \right)$$

Так как:

• $\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \cos\left( 5x — \frac{\pi}{4} \right)$

Пояснение:

• $a = 1$, $b = 1$, значит:

$$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

и

$$\arccos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 2: Подставляем в уравнение

Исходное уравнение:

$$\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \cos 13x$$

Становится:

$$\sqrt{2} \cos\left( 5x — \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos 13x$$

Шаг 3: Упростим обе части уравнения

Разделим обе части на $\sqrt{2}$ (допустимо, так как $\sqrt{2} \ne 0$):

$$\cos\left( 5x — \frac{\pi}{4} \right) = \cos 13x$$

Шаг 4: Используем основное тригонометрическое тождество

Если:

$$\cos A = \cos B$$

то:

$$A = 2\pi n \pm B \Rightarrow \begin{cases} 5x — \frac{\pi}{4} = 13x + 2\pi n \\ 5x — \frac{\pi}{4} = -13x + 2\pi n \end{cases}$$

Решим каждое уравнение отдельно.

Шаг 5: Первое уравнение

$$5x — \frac{\pi}{4} = 13x + 2\pi n$$

Переносим всё в одну сторону:

$$5x — 13x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow -8x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = -\frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right)$$

Раскроем скобки:

$$x = -\frac{\pi}{32} — \frac{\pi n}{4}$$

Можно записать в виде:

$$x = -\frac{\pi}{32} + \frac{\pi (-n)}{4} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{32} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 6: Второе уравнение

$$5x — \frac{\pi}{4} = -13x + 2\pi n$$

Переносим всё:

$$5x + 13x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow 18x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{1}{18} \left( \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right)$$

Приводим к общему виду:

$$x = \frac{\pi}{72} + \frac{\pi n}{9}$$

Шаг 7: Окончательный ответ

$$x = -\frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}, \quad x = \frac{\pi}{72} + \frac{\pi n}{9}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{ x = -\frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}; \quad x = \frac{\pi}{72} + \frac{\pi n}{9}, \quad n \in \mathbb{Z} }$$