ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) 3cos(x + 1) — 4sin(х + 1) = 5;

б) 15sin(2х — 3) + 8cos(2х — 3) = 8,5.

а) $3\cos (x+1)-4\sin (x+1)=$$5$$3 \cos(x + 1) — 4 \sin(x + 1) = 5$;
$\mathrm{}$$4 \sin(x + 1) — 3 \cos(x + 1) = -5$;
$-\sqrt{16 + 9} \cos \left( x + 1 + \arccos \frac{3}{\sqrt{16 + 9}} \right) = -5$;
$-5 \cos \left( x + 1 + \arccos \frac{3}{5} \right) = -5$;
$\cos(x + 1 + t) = 1$;
$x + 1 + t = 2\pi n$;
$x = -1 — t + 2\pi n$;
Ответ: $-1 — \arccos \frac{3}{5} + 2\pi n$.

б) $15 \sin(2x — 3) + 3 \cos(2x — 3) = 8,5$;
$\mathrm{}$$\sqrt{225 + 64} \cos \left( 2x — 3 — \arccos \frac{8}{\sqrt{225 + 64}} \right) = 8,5$;
$17 \cos \left( 2x — 3 — \arccos \frac{8}{17} \right) = \frac{17}{2}$;
$\cos(2x — 3 — t) = \frac{1}{2}$;
$2x — 3 — t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
$x = \frac{1}{2} \left( 3 + t \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = 1,5 + \frac{1}{2} t \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$;
Ответ: $1,5 + \frac{1}{2} \arccos \frac{8}{17} \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$.

а) Решить уравнение:

$$3 \cos(x + 1) — 4 \sin(x + 1) = 5$$

Шаг 1: Представим в виде одной косинусной функции

Мы имеем линейную комбинацию синуса и косинуса одного и того же аргумента $x + 1$, а именно:

$$3 \cos(x + 1) — 4 \sin(x + 1)$$

Это можно представить в виде:

$$R \cos(x + 1 + \varphi)$$

Шаг 2: Найдём коэффициенты

Пусть:

$$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Также известно, что:

$$a = R \cos \varphi = 3, \quad b = R \sin \varphi = 4 \Rightarrow \cos \varphi = \frac{3}{5}, \quad \sin \varphi = \frac{4}{5}$$

То есть:

$$\varphi = \arccos\left( \frac{3}{5} \right)$$

Шаг 3: Подставляем обратно

Значит:

$$3 \cos(x + 1) — 4 \sin(x + 1) = R \cos(x + 1 + \varphi) = 5 \cos\left(x + 1 + \arccos \frac{3}{5} \right)$$

Уравнение принимает вид:

$$5 \cos\left(x + 1 + \arccos \frac{3}{5} \right) = 5$$

Шаг 4: Делим обе части на 5

$$\cos\left(x + 1 + \arccos \frac{3}{5} \right) = 1$$

Шаг 5: Решаем уравнение $\cos A = 1$

Это равенство выполняется при:

$$x + 1 + \arccos \frac{3}{5} = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 6: Выразим $x$

$$x = -1 — \arccos \frac{3}{5} + 2\pi n$$

Ответ (а):

$$\boxed{x = -1 — \arccos \frac{3}{5} + 2\pi n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б) Решить уравнение:

$$15 \sin(2x — 3) + 3 \cos(2x — 3) = 8.5$$

Шаг 1: Представим в виде одной косинусной функции

Форма:

$$a \sin \theta + b \cos \theta = R \cos(\theta — \varphi)$$

У нас:

$$a = 15, \quad b = 3 \Rightarrow R = \sqrt{15^2 + 3^2} = \sqrt{225 + 9} = \sqrt{234}$$

Но в решении из текста используют:

$$R = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$

Значит, на самом деле:

$$a = 15, \quad b = 8 \quad (\text{а не 3})$$

Так что верное уравнение:

$$15 \sin(2x — 3) + 8 \cos(2x — 3) = 8.5$$

Шаг 2: Преобразуем выражение

$$R = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$

Теперь найдём угол:

$$\cos \varphi = \frac{8}{17}, \quad \Rightarrow \varphi = \arccos \frac{8}{17}$$

Формула:

$$a \sin A + b \cos A = R \cos\left( A — \varphi \right)$$

Шаг 3: Подставим

$$15 \sin(2x — 3) + 8 \cos(2x — 3) = 17 \cos\left( 2x — 3 — \arccos \frac{8}{17} \right)$$

Значит:

$$17 \cos\left( 2x — 3 — \arccos \frac{8}{17} \right) = 8.5 \Rightarrow \cos\left( 2x — 3 — \arccos \frac{8}{17} \right) = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Решаем уравнение $\cos A = \frac{1}{2}$

$$A = \pm \arccos\left( \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Где $A = 2x — 3 — \arccos \frac{8}{17}$

Шаг 5: Выразим $x$

$$2x — 3 — \arccos \frac{8}{17} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow 2x = 3 + \arccos \frac{8}{17} \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Делим на 2:

$$x = \frac{1}{2} \left( 3 + \arccos \frac{8}{17} \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = 1.5 + \frac{1}{2} \arccos \frac{8}{17} \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ (б):

$$\boxed{x = 1.5 + \frac{1}{2} \arccos \frac{8}{17} \pm \frac{\pi}{6} + \pi n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$