ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько корней уравнения удовлетворяет неравенству:

$$\frac{\cos^2 x — \cos x — \sin^2 x}{1 — \cos 2x — \sin x} = 0;$$ $$\cos^2 x — \cos x — \sin^2 x = 0;$$ $$\cos 2x — \cos x = 0;$$ $$-2 \sin \frac{2x + x}{2} \cdot \sin \frac{2x — x}{2} = 0;$$ $$\sin \frac{3x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} = 0;$$

1) Первое уравнение:

$$\sin \frac{3x}{2} = 0;$$ $$\frac{3x}{2} = \pi n;$$ $$x = \frac{2\pi n}{3};$$

2) Второе уравнение:

$$\sin \frac{x}{2} = 0;$$ $$\frac{x}{2} = \pi n;$$ $$x = 2\pi n;$$

3) Выражение имеет смысл при:

$$1 — \cos 2x — \sin x \neq 0;$$ $$2 \sin^2 x — \sin x \neq 0;$$ $$\sin x \cdot (2 \sin x — 1) \neq 0;$$

4) Первое значение:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \pi n;$$

5) Второе значение:

$$2 \sin x — 1 \neq 0;$$ $$\sin x \neq \frac{1}{2};$$ $$x \neq (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

6) Решения уравнения:

$$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n;$$

7) Решения неравенства:

$$36\pi^2 + 7\pi x — 4x^2 \geq 0;$$ $$4x^2 — 7\pi x — 36\pi^2 \leq 0;$$ $$D = (7\pi)^2 + 4 \cdot 4 \cdot 36\pi^2 = 49\pi^2 + 576\pi^2 = 625\pi^2;$$

тогда:

$$x_1 = \frac{7\pi — 25\pi}{2 \cdot 4} = \frac{-18\pi}{8} = \frac{-9\pi}{4};$$ $$x_2 = \frac{7\pi + 25\pi}{2 \cdot 4} = \frac{32\pi}{8} = 4\pi;$$

8) Первая серия корней на данном отрезке:

$$-\frac{9\pi}{4} \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq 4\pi;$$ $$-\frac{35\pi}{12} \leq 2\pi n \leq \frac{10\pi}{3};$$ $$-\frac{35}{24} \leq n \leq \frac{5}{3};$$ $$-1 \leq n \leq 1;$$

9) Вторая серия корней на данном отрезке:

$$-\frac{9\pi}{4} \leq \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \leq 4\pi;$$ $$-\frac{43\pi}{12} \leq 2\pi n \leq \frac{8\pi}{3};$$ $$-\frac{43}{24} \leq n \leq \frac{4}{3};$$ $$-1 \leq n \leq 1;$$

Ответ: $\boxed{6}$

Найти количество корней уравнения, удовлетворяющих неравенству:

$$\frac{\cos^2 x — \cos x — \sin^2 x}{1 — \cos 2x — \sin x} = 0$$

Шаг 1: Найдём область допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель не должен обращаться в ноль:

$$1 — \cos 2x — \sin x \neq 0$$

Раскроем $\cos 2x$ по формуле двойного угла:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x = 1 — 2 \sin^2 x$$

Подставим:

$$1 — (1 — 2\sin^2 x) — \sin x = 2\sin^2 x — \sin x \neq 0$$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x (2 \sin x — 1) \neq 0$$

Значит, исключаем:

1. $\sin x = 0 \Rightarrow x \neq \pi n$
2. $\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x \neq (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$

Шаг 2: Найдём решения числителя

Решим:

$$\cos^2 x — \cos x — \sin^2 x = 0$$

Подставим: $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$

$$(1 — \sin^2 x) — \cos x — \sin^2 x = 0 \Rightarrow 1 — 2 \sin^2 x — \cos x = 0$$

Это не упростит уравнение напрямую. Вместо этого используем формулу приведения и тригонометрические тождества.

Сделаем иначе: запишем это через $\cos 2x$.

Напомним:

• $\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$

Вернёмся к исходному выражению:

$$\cos^2 x — \cos x — \sin^2 x = (\cos^2 x — \sin^2 x) — \cos x = \cos 2x — \cos x$$

То есть, исходное уравнение эквивалентно:

$$\frac{\cos 2x — \cos x}{1 — \cos 2x — \sin x} = 0 \Rightarrow \cos 2x — \cos x = 0$$

Шаг 3: Решим уравнение $\cos 2x — \cos x = 0$

$$\cos 2x = \cos x$$

Применим формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Тогда:

$$\cos 2x — \cos x = -2 \sin \left( \frac{2x + x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{2x — x}{2} \right) = -2 \sin \left( \frac{3x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{x}{2} \right)$$ $$\Rightarrow -2 \sin \left( \frac{3x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{x}{2} \right) = 0$$

Уравнение будет равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

Шаг 4: Решения уравнения

1) $\sin \left( \frac{3x}{2} \right) = 0$

$$\frac{3x}{2} = \pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi n}{3}$$

2) $\sin \left( \frac{x}{2} \right) = 0$

$$\frac{x}{2} = \pi n \Rightarrow x = 2\pi n$$

Шаг 5: Проверим полученные решения на ОДЗ

Проверим первую серию: $x = \frac{2\pi n}{3}$

Чтобы $x \in \mathbb{R} \setminus \{ \pi n, (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \}$

Проверим:

• Когда $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$, но $\frac{2\pi n}{3} = \pi n$ только при $n = 0$, что даст $x = 0$, это исключаем.
• Когда $\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$

Проверим, входит ли $x = \frac{2\pi n}{3}$ в исключённые значения. Это будет происходить, если:

$$\frac{2\pi n}{3} = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k$$

Это может случиться при некоторых $n$, но не для всех. Поэтому оставим серию, а дальше проверим допустимые $n$.

Шаг 6: Найдём отрезок, на котором проверяются корни

Нам дано неравенство:

$$\frac{\cos^2 x — \cos x — \sin^2 x}{1 — \cos 2x — \sin x} = 0 \;\Rightarrow\; \cos^2 x — \cos x — \sin^2 x = 0,\quad 1 — \cos 2x — \sin x \neq 0$$

Это эквивалентно:

$$\cos 2x — \cos x = 0, \quad \text{при этом} \quad \sin x (2 \sin x — 1) \neq 0$$

Теперь отбираются только те решения, которые лежат в заданном промежутке, заданном неравенством:

$$36\pi^2 + 7\pi x — 4x^2 \geq 0$$

Шаг 7: Решим неравенство

$$36\pi^2 + 7\pi x — 4x^2 \geq 0 \Rightarrow 4x^2 — 7\pi x — 36\pi^2 \leq 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-7\pi)^2 + 4 \cdot 4 \cdot 36\pi^2 = 49\pi^2 + 576\pi^2 = 625\pi^2$$ $$\sqrt{D} = 25\pi$$

Корни квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{7\pi — 25\pi}{2 \cdot 4} = \frac{-18\pi}{8} = \frac{-9\pi}{4}$$ $$x_2 = \frac{7\pi + 25\pi}{2 \cdot 4} = \frac{32\pi}{8} = 4\pi$$

Значит:

$$x \in \left[ -\frac{9\pi}{4},\ 4\pi \right]$$

Шаг 8: Найдём, сколько решений первой серии лежит в этом интервале

Первая серия:

$$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Найдём $n$, при которых:

$$-\frac{9\pi}{4} \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq 4\pi$$

Вычтем $\frac{2\pi}{3}$:

$$-\frac{9\pi}{4} — \frac{2\pi}{3} \leq 2\pi n \leq 4\pi — \frac{2\pi}{3}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$-\frac{27\pi}{12} — \frac{8\pi}{12} = -\frac{35\pi}{12}$$ $$4\pi — \frac{2\pi}{3} = \frac{12\pi — 2\pi}{3} = \frac{10\pi}{3}$$

Получаем:

$$-\frac{35\pi}{12} \leq 2\pi n \leq \frac{10\pi}{3} \Rightarrow -\frac{35}{24} \leq n \leq \frac{5}{3} \Rightarrow n = -1,\ 0,\ 1 \quad (\text{всего 3 значения})$$

Шаг 9: Вторая серия решений

$$x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$$

Тот же анализ:

$$-\frac{9\pi}{4} \leq \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \leq 4\pi$$

Вычтем $\frac{4\pi}{3}$:

$$-\frac{27\pi}{12} — \frac{16\pi}{12} = -\frac{43\pi}{12}$$ $$4\pi — \frac{4\pi}{3} = \frac{12\pi — 4\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$$ $$-\frac{43\pi}{12} \leq 2\pi n \leq \frac{8\pi}{3} \Rightarrow -\frac{43}{24} \leq n \leq \frac{4}{3} \Rightarrow n = -1,\ 0,\ 1 \quad (\text{всего 3 значения})$$

Шаг 10: Проверим попадание в ОДЗ

Ранее мы исключили $x = \pi n$, $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$

Проверим найденные 6 значений:

• Из первой серии: $x = \frac{2\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3},\ \frac{14\pi}{3}$
• Из второй: $x = \frac{4\pi}{3},\ \frac{10\pi}{3},\ \frac{16\pi}{3}$

Ни одно из них не равно $\pi n$
Проверим, равны ли $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$?
Нет, ни одно из значений не совпадает с такими числами.

Ответ:

Все 6 корней лежат в интервале и удовлетворяют ОДЗ.

$$\boxed{6}$$