ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

$$\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 1 + \cos 2x;$$ $$\cos \left( \frac{\pi}{2} — \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \right) + \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2};$$ $$\cos \left( \frac{\pi}{3} — x \right) + \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cos^2 x;$$ $$2 \cos \frac{\left( x + \frac{\pi}{3} \right) + \left( \frac{\pi}{3} — x \right)}{2} \cdot \cos \frac{\left( x + \frac{\pi}{3} \right) — \left( \frac{\pi}{3} — x \right)}{2} = 2 \cos^2 x;$$ $$2 \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos x = 2 \cos^2 x;$$ $$2 \cdot \frac{1}{2} \cos x = 2 \cos^2 x;$$ $$\cos x = 2 \cos^2 x;$$ $$2 \cos^2 x — \cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot (2 \cos x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \cos x — 1 = 0;$$ $$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2 \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n; \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n.}$$

Задано уравнение:

$$\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 1 + \cos 2x \tag{1}$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть уравнения

Используем формулу приведения для синуса:

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} — \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right)$$

Тогда уравнение (1) перепишем:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 + \cos 2x$$

Раскроем скобки:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — x — \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} — x\right)$$

Тогда уравнение примет вид:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} — x\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 + \cos 2x \tag{2}$$

Шаг 2: Применим формулу суммы косинусов

Формула:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Здесь:

• $A = \frac{\pi}{3} — x$
• $B = x + \frac{\pi}{3}$

Посчитаем:

$$\frac{A + B}{2} = \frac{\left( \frac{\pi}{3} — x + x + \frac{\pi}{3} \right)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$$ $$\frac{A — B}{2} = \frac{\left( \frac{\pi}{3} — x — x — \frac{\pi}{3} \right)}{2} = \frac{-2x}{2} = -x$$

Значит:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} — x\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos(-x)$$

Но $\cos(-x) = \cos x$, т.к. косинус — чётная функция:

$$= 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos x$$

А $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, тогда:

$$= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos x = \cos x$$

Левая часть уравнения (2) стала:

$$\cos x$$

Шаг 3: Правая часть уравнения

$$1 + \cos 2x$$

Используем формулу двойного угла:

$$\cos 2x = 2\cos^2 x — 1$$

Подставим:

$$1 + \cos 2x = 1 + (2 \cos^2 x — 1) = 2 \cos^2 x$$

Шаг 4: Финальное уравнение

Теперь уравнение стало:

$$\cos x = 2 \cos^2 x$$

Перенесём всё в одну часть:

$$2 \cos^2 x — \cos x = 0$$

Вынесем $\cos x$ за скобку:

$$\cos x \cdot (2 \cos x — 1) = 0$$

Шаг 5: Найдём корни

Итак, уравнение имеет два множителя. Значит, два возможных случая:

Случай 1: $\cos x = 0$

Общий вид решений:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Случай 2: $2 \cos x — 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$

Решим уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$

Это стандартное значение:

$$\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Итоговый ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$