ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$3\mathrm{tg}\frac{x}{2}+\mathrm{ctg}x=\frac{5}{\sin x}$

Решить уравнение:
$3 \operatorname{tg} \frac{x}{2} + \operatorname{ctg} x = \frac{5}{\sin x};$

Выведем равенство:
$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 — \cos x}{1 + \cos x}} = \sqrt{\frac{(1 — \cos x)^2}{(1 + \cos x)(1 — \cos x)}};$
$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{\sqrt{1 — \cos^2 x}} = \frac{1 — \cos x}{\sqrt{\sin^2 x}} = \frac{1 — \cos x}{\sin x};$

Решим уравнение:
$3 \frac{1 — \cos x}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{5}{\sin x};$
$3(1 — \cos x) + \cos x = 5;$
$3 — 3 \cos x + \cos x = 5;$
$-2 \cos x = 2;$
$\cos x = -1;$
$x = \pi + 2\pi n;$

Выражение имеет смысл при:
$\sin x \neq 0;$
$x \neq \pi n;$

Ответ: $\varnothing$.

Задано уравнение:

$$3 \cdot \tg\left(\frac{x}{2}\right) + \ctg x = \frac{5}{\sin x}$$

Шаг 1: Выразим $\tg\left(\frac{x}{2}\right)$ через $\cos x$ и $\sin x$

Из тригонометрических тождеств:

$$\tg\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 — \cos x}{1 + \cos x}} \quad \text{(при соответствующих ограничениях на } x\text{)}$$

Преобразуем выражение:

$$\tg\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{(1 — \cos x)^2}{(1 + \cos x)(1 — \cos x)}} = \frac{1 — \cos x}{\sqrt{1 — \cos^2 x}}$$

По основному тригонометрическому тождеству:

$$1 — \cos^2 x = \sin^2 x$$

Следовательно:

$$\tg\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 — \cos x}{\sqrt{\sin^2 x}} = \frac{1 — \cos x}{|\sin x|}$$

Для определённости предположим $\sin x > 0$ (мы позже учтём ОДЗ). Тогда:

$$\tg\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 — \cos x}{\sin x}$$

Шаг 2: Выразим $\ctg x$

$$\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Шаг 3: Подставим всё в исходное уравнение

Исходное:

$$3 \cdot \tg\left(\frac{x}{2}\right) + \ctg x = \frac{5}{\sin x}$$

Подставим выражения через $\cos x$ и $\sin x$:

$$3 \cdot \frac{1 — \cos x}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{5}{\sin x}$$

Общий знаменатель уже есть, можно объединить числители:

$$\frac{3(1 — \cos x) + \cos x}{\sin x} = \frac{5}{\sin x}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{3 — 3\cos x + \cos x}{\sin x} = \frac{5}{\sin x}$$

Сложим подобные члены:

$$\frac{3 — 2\cos x}{\sin x} = \frac{5}{\sin x}$$

Так как знаменатели равны и $\sin x \neq 0$, можно приравнять числители:

$$3 — 2\cos x = 5$$

Шаг 4: Решим уравнение

$$3 — 2\cos x = 5 \Rightarrow -2\cos x = 2 \Rightarrow \cos x = -1$$

Шаг 5: Найдём все $x$, при которых $\cos x = -1$

$$\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 6: Проверим область допустимых значений (ОДЗ)

В исходном уравнении есть деление на $\sin x$, значит:

$$\sin x \neq 0 \Rightarrow x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Но найденное значение $x = \pi + 2\pi n$ входит в множество $x = \pi n$, т.к. это частный случай при нечётных $n$.

Значит, при найденных $x$ значение $\sin x = 0$, а значит:

• знаменатель $\sin x = 0$;
• выражения в уравнении не определены;
• решение не принадлежит ОДЗ.

Итог: решений нет.

Ответ:

$$\boxed{\varnothing}$$