ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Решите уравнение:

a) 2ctg3х — 2tg3х — 4tg6x = 1;

б) ctgx — tgx — 2tg2x — 4tg4x = 8tg8x.

Краткий ответ:

Выведем равенство:

$c t g x - t g x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\sin x \cdot \cos x} = \frac{\cos 2 x}{0, 5 \sin 2 x} = 2 c t g 2 x;$

а)

$2 c t g 3 x - 2 t g 3 x - 4 t g 6 x = 1;$ $4 c t g 6 x - 4 t g 6 x = 1;$ $8 c t g 12 x = 1;$ $c t g 12 x = \frac{1}{8};$ $t g 12 x = 8;$ $12 x = a r c t g 8 + π n;$ $x = \frac{1}{12} (a r c t g 8 + π n) = \frac{1}{12} a r c t g 8 + \frac{π n}{12};$

Ответ:

$\frac{1}{12} a r c t g 8 + \frac{π n}{12} .$

б)

$c t g x - t g x - 2 t g 2 x - 4 t g 4 x = 8 t g 8 x;$ $(2 c t g 2 x - 2 t g 2 x) - 4 t g 4 x - 8 t g 8 x = 0;$ $(4 c t g 4 x - 4 t g 4 x) - 8 t g 8 x = 0;$ $8 c t g 8 x - 8 t g 8 x = 0;$ $16 c t g 16 x = 0;$ $c t g 16 x = 0;$ $16 x = a r c t g 0 + π n = \frac{π}{2} + π n;$ $x = \frac{1}{16} (\frac{π}{2} + π n) = \frac{π}{32} + \frac{π n}{16};$

Ответ:

$\frac{π}{32} + \frac{π n}{16} .$

Подробный ответ:

Общее тождество

Выражение:

$ctg x - tg x$

Запишем через синус и косинус:

$ctg x - tg x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x}$

Приведём к общему знаменателю:

$= \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\sin x \cdot \cos x}$

В числителе:

$\cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos 2 x$

В знаменателе:

$\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin 2 x$

Тогда:

$\frac{\cos 2 x}{\frac{1}{2} \sin 2 x} = 2 \cdot \frac{\cos 2 x}{\sin 2 x} = 2 ctg 2 x$

Получили:

$ctg x - tg x = 2 ctg 2 x$

а)

Решить уравнение:

$2 ctg 3 x - 2 tg 3 x - 4 tg 6 x = 1$

Шаг 1: Вынесем общее

Сгруппируем первые два слагаемых:

$2 (ctg 3 x - tg 3 x) - 4 tg 6 x = 1$

Из тождества:

$ctg α - tg α = 2 ctg 2 α \Rightarrow ctg 3 x - tg 3 x = 2 ctg 6 x$

Подставим:

$2 \cdot 2 ctg 6 x - 4 tg 6 x = 1 \Rightarrow 4 ctg 6 x - 4 tg 6 x = 1$

Шаг 2: Снова используем тождество

$ctg 6 x - tg 6 x = 2 ctg 12 x \Rightarrow 4 ctg 6 x - 4 tg 6 x = 4 \cdot 2 ctg 12 x = 8 ctg 12 x$

Значит:

$8 ctg 12 x = 1 \Rightarrow ctg 12 x = \frac{1}{8}$

Шаг 3: Найдём $tg 12 x$

Если $ctg 12 x = \frac{1}{8}$ , то:

$tg 12 x = 8$

Шаг 4: Найдём $x$

$12 x = arctg 8 + π n \Rightarrow x = \frac{1}{12} arctg 8 + \frac{π n}{12}$

Ответ (а):

$x = \frac{1}{12} arctg 8 + \frac{π n}{12}$

б)

Решить уравнение:

$ctg x - tg x - 2 tg 2 x - 4 tg 4 x = 8 tg 8 x$

Шаг 1: Перенесём всё в одну сторону

$ctg x - tg x - 2 tg 2 x - 4 tg 4 x - 8 tg 8 x = 0$

Сгруппируем:

$(ctg x - tg x) - 2 tg 2 x - 4 tg 4 x - 8 tg 8 x = 0$

Шаг 2: Заменим по тождеству

$ctg x - tg x = 2 ctg 2 x \Rightarrow 2 ctg 2 x - 2 tg 2 x - 4 tg 4 x - 8 tg 8 x = 0$

Сгруппируем:

$2 (ctg 2 x - tg 2 x) - 4 tg 4 x - 8 tg 8 x = 0$

Заменим:

$ctg 2 x - tg 2 x = 2 ctg 4 x \Rightarrow 2 \cdot 2 ctg 4 x = 4 ctg 4 x \Rightarrow 4 ctg 4 x - 4 tg 4 x - 8 tg 8 x = 0$

Шаг 3: Заменим следующую группу

$ctg 4 x - tg 4 x = 2 ctg 8 x \Rightarrow 4 \cdot 2 ctg 8 x = 8 ctg 8 x \Rightarrow 8 ctg 8 x - 8 tg 8 x = 0$

Шаг 4: Заменим последнюю разность

$ctg 8 x - tg 8 x = 2 ctg 16 x \Rightarrow 8 \cdot 2 ctg 16 x = 16 ctg 16 x \Rightarrow 16 ctg 16 x = 0$

Шаг 5: Решим уравнение

$ctg 16 x = 0 \Rightarrow tg 16 x = \infty \Rightarrow 16 x = \frac{π}{2} + π n \Rightarrow x = \frac{π}{32} + \frac{π n}{16}$

Ответ (б):

$x = \frac{π}{32} + \frac{π n}{16}$

Оцени решение