ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) 2ctg3х — 2tg3х — 4tg6x = 1;

б) ctgx — tgx — 2tg2x — 4tg4x = 8tg8x.

Выведем равенство:

$$ctgx-tgx=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{\sin x\cdot \cos x}=\frac{\cos 2x}{0,5\sin 2x}=2ctg2x;$$

а)

$$2ctg3x-2tg3x-4tg6x=1;$$$$4ctg6x-4tg6x=1;$$$$8ctg12x=1;$$$$ctg12x=\frac{1}{8};$$$$tg12x=8;$$$$12x=arctg8+\pi n;$$$$x=\frac{1}{12}(arctg8+\pi n)=\frac{1}{12}arctg8+\frac{\pi n}{12};$$

Ответ:

$$\frac{1}{12}arctg8+\frac{\pi n}{12}\mathrm{.}$$

б)

$$ctgx-tgx-2tg2x-4tg4x=8tg8x;$$$$(2ctg2x-2tg2x)-4tg4x-8tg8x=0;$$$$(4ctg4x-4tg4x)-8tg8x=0;$$$$8ctg8x-8tg8x=0;$$$$16ctg16x=0;$$$$ctg16x=0;$$$$16x=arctg0+\pi n=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$$$x=\frac{1}{16}(\frac{\pi }{2}+\pi n)=\frac{\pi }{32}+\frac{\pi n}{16};$$

Ответ:

$$\frac{\pi }{32}+\frac{\pi n}{16}\mathrm{.}$$

Общее тождество

Выражение:

$$\mathrm{ctg}x-\mathrm{tg}x$$

Запишем через синус и косинус:

$$\mathrm{ctg}x-\mathrm{tg}x=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$=\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{\sin x\cdot \cos x}$$

В числителе:

$${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$$

В знаменателе:

$$\sin x\cdot \cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$$

Тогда:

$$\frac{\cos 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x}=2\cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x}=2\mathrm{ctg}2x$$

Получили:

$$\mathrm{ctg}x-\mathrm{tg}x=2\mathrm{ctg}2x$$

а)

Решить уравнение:

$$2\mathrm{ctg}3x-2\mathrm{tg}3x-4\mathrm{tg}6x=1$$

Шаг 1: Вынесем общее

Сгруппируем первые два слагаемых:

$$2(\mathrm{ctg}3x-\mathrm{tg}3x)-4\mathrm{tg}6x=1$$

Из тождества:

$$\mathrm{ctg}\alpha -\mathrm{tg}\alpha =2\mathrm{ctg}2\alpha \Rightarrow \mathrm{ctg}3x-\mathrm{tg}3x=2\mathrm{ctg}6x$$

Подставим:

$$2\cdot 2\mathrm{ctg}6x-4\mathrm{tg}6x=1\Rightarrow 4\mathrm{ctg}6x-4\mathrm{tg}6x=1$$

Шаг 2: Снова используем тождество

$$\mathrm{ctg}6x-\mathrm{tg}6x=2\mathrm{ctg}12x\Rightarrow 4\mathrm{ctg}6x-4\mathrm{tg}6x=4\cdot 2\mathrm{ctg}12x=8\mathrm{ctg}12x$$

Значит:

$$8\mathrm{ctg}12x=1\Rightarrow \mathrm{ctg}12x=\frac{1}{8}$$

Шаг 3: Найдём $\mathrm{tg}12x$

Если $\mathrm{ctg}12x=\frac{1}{8}$, то:

$$\mathrm{tg}12x=8$$

Шаг 4: Найдём $x$

$$12x=\mathrm{arctg}8+\pi n\Rightarrow x=\frac{1}{12}\mathrm{arctg}8+\frac{\pi n}{12}$$

Ответ (а):

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{1}{12}\mathrm{arctg}8+\frac{\pi n}{12}}}$$

б)

Решить уравнение:

$$\mathrm{ctg}x-\mathrm{tg}x-2\mathrm{tg}2x-4\mathrm{tg}4x=8\mathrm{tg}8x$$

Шаг 1: Перенесём всё в одну сторону

$$\mathrm{ctg}x-\mathrm{tg}x-2\mathrm{tg}2x-4\mathrm{tg}4x-8\mathrm{tg}8x=0$$

Сгруппируем:

$$(\mathrm{ctg}x-\mathrm{tg}x)-2\mathrm{tg}2x-4\mathrm{tg}4x-8\mathrm{tg}8x=0$$

Шаг 2: Заменим по тождеству

$$\mathrm{ctg}x-\mathrm{tg}x=2\mathrm{ctg}2x\Rightarrow 2\mathrm{ctg}2x-2\mathrm{tg}2x-4\mathrm{tg}4x-8\mathrm{tg}8x=0$$

Сгруппируем:

$$2(\mathrm{ctg}2x-\mathrm{tg}2x)-4\mathrm{tg}4x-8\mathrm{tg}8x=0$$

Заменим:

$$\mathrm{ctg}2x-\mathrm{tg}2x=2\mathrm{ctg}4x\Rightarrow 2\cdot 2\mathrm{ctg}4x=4\mathrm{ctg}4x\Rightarrow 4\mathrm{ctg}4x-4\mathrm{tg}4x-8\mathrm{tg}8x=0$$

Шаг 3: Заменим следующую группу

$$\mathrm{ctg}4x-\mathrm{tg}4x=2\mathrm{ctg}8x\Rightarrow 4\cdot 2\mathrm{ctg}8x=8\mathrm{ctg}8x\Rightarrow 8\mathrm{ctg}8x-8\mathrm{tg}8x=0$$

Шаг 4: Заменим последнюю разность

$$\mathrm{ctg}8x-\mathrm{tg}8x=2\mathrm{ctg}16x\Rightarrow 8\cdot 2\mathrm{ctg}16x=16\mathrm{ctg}16x\Rightarrow 16\mathrm{ctg}16x=0$$

Шаг 5: Решим уравнение

$$\mathrm{ctg}16x=0\Rightarrow \mathrm{tg}16x=\mathrm{\infty }\Rightarrow 16x=\frac{\pi }{2}+\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi }{32}+\frac{\pi n}{16}$$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{32}+\frac{\pi n}{16}}}$$