ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$6 \operatorname{tg} x + 5 \operatorname{ctg} 3x = \operatorname{tg} 2x$

Решить уравнение:

$6 \operatorname{tg} x + 5 \operatorname{ctg} 3x = \operatorname{tg} 2x$;
$5 (\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} 3x) = \operatorname{tg} 2x — \operatorname{tg} x$;
$5 \left( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos 3x}{\sin 3x} \right) = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} — \frac{\sin x}{\cos x}$;
$5 \cdot \frac{\sin x \cdot \sin 3x + \cos 3x \cdot \cos x}{\cos x \cdot \sin 3x} = \frac{\sin 2x \cdot \cos x — \sin x \cdot \cos 2x}{\cos x \cdot \cos 2x}$;
$\frac{5 \cos (3x — x)}{\sin 3x} = \frac{\sin (2x — x)}{\cos 2x}$;
$\frac{5 \cos 2x}{\sin 3x} = \frac{\sin x}{\cos 2x}$;
$5 \cos^2 2x = \sin x \cdot \sin 3x$;
$5 \cos^2 2x = \frac{\cos (3x — x) — \cos (3x + x)}{2}$;
$10 \cos^2 2x = \cos 2x — \cos 4x$;
$10 \cos^2 2x = \cos 2x — (\cos^2 2x — \sin^2 2x)$;
$10 \cos^2 2x = \cos 2x — \cos^2 2x + (1 — \cos^2 2x)$;

Пусть $y = \cos 2x$, тогда:

$$10y^2 = y — y^2 + (1 — y^2);$$ $$10y^2 = y — 2y^2 + 1;$$ $$12y^2 — y — 1 = 0;$$

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49;$$

Тогда корни квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 12} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4};$$ $$y_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3};$$

Первое значение:

$$\cos 2x = -\frac{1}{4};$$ $$2x = \pm \arccos \left( -\frac{1}{4} \right) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{1}{2} \arccos \left( -\frac{1}{4} \right) + \pi n;$$

Второе значение:

$$\cos 2x = \frac{1}{3};$$ $$2x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1}{3} + \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\pm \frac{1}{2} \arccos \left( -\frac{1}{4} \right) + \pi n, \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1}{3} + \pi n}$$

Решить уравнение:

$$6 \tg x + 5 \ctg 3x = \tg 2x$$

Шаг 1: Переносим слагаемое

Переносим $\tg x$ вправо:

$$6 \tg x + 5 \ctg 3x = \tg 2x \Rightarrow 5 \tg x + 5 \ctg 3x = \tg 2x — \tg x$$

Разделим обе части на 5:

$$\tg x + \ctg 3x = \frac{1}{5}(\tg 2x — \tg x)$$

Умножим обе части обратно на 5 (как в оригинальном решении):

$$5(\tg x + \ctg 3x) = \tg 2x — \tg x$$

Шаг 2: Распишем всё через синусы и косинусы

$$5\left( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos 3x}{\sin 3x} \right) = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} — \frac{\sin x}{\cos x}$$

Шаг 3: Приведение к общим выражениям

Левая часть:

$$5\left( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos 3x}{\sin 3x} \right) = 5 \cdot \frac{\sin x \cdot \sin 3x + \cos 3x \cdot \cos x}{\cos x \cdot \sin 3x}$$

Пользуемся формулой:

$$\sin A \sin B + \cos A \cos B = \cos(A — B) \Rightarrow \sin x \cdot \sin 3x + \cos x \cdot \cos 3x = \cos(3x — x) = \cos 2x$$

Следовательно:

$$\text{Левая часть} = \frac{5 \cos 2x}{\cos x \cdot \sin 3x}$$

Правая часть:

$$\frac{\sin 2x \cdot \cos x — \sin x \cdot \cos 2x}{\cos x \cdot \cos 2x}$$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin A \cos B — \sin B \cos A = \sin(A — B) \Rightarrow \sin 2x \cos x — \sin x \cos 2x = \sin(x)$$

Значит, правая часть:

$$\frac{\sin x}{\cos 2x}$$

Шаг 4: Приравниваем обе части

$$\frac{5 \cos 2x}{\sin 3x} = \frac{\sin x}{\cos 2x}$$

Перемножим крест-накрест:

$$5 \cos^2 2x = \sin x \cdot \sin 3x$$

Шаг 5: Раскроем $\sin x \cdot \sin 3x$ через формулу произведения

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A — B) — \cos(A + B)] \Rightarrow \sin x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2} [\cos(2x) — \cos(4x)]$$

Умножим обе части на 2:

$$10 \cos^2 2x = \cos 2x — \cos 4x$$

Шаг 6: Заменим $\cos 4x$ через двойной угол

$$\cos 4x = 2 \cos^2 2x — 1 \Rightarrow \cos 2x — \cos 4x = \cos 2x — (2 \cos^2 2x — 1) = \cos 2x — 2 \cos^2 2x + 1$$

Теперь подставим это в левую часть:

$$10 \cos^2 2x = \cos 2x — 2 \cos^2 2x + 1$$

Шаг 7: Вводим замену $y = \cos 2x$

$$10y^2 = y — 2y^2 + 1 \Rightarrow 10y^2 + 2y^2 — y — 1 = 0 \Rightarrow 12y^2 — y — 1 = 0$$

Шаг 8: Решаем квадратное уравнение

$$12y^2 — y — 1 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 12 \cdot 1 = 1 + 48 = 49$$

Корни:

$$y_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 12} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4} \quad\text{и}\quad y_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$$

Шаг 9: Вернёмся к переменной $x$

Для $y = \cos 2x = -\frac{1}{4}$:

$$2x = \pm \arccos\left( -\frac{1}{4} \right) + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left( -\frac{1}{4} \right) + \pi n$$

Для $y = \cos 2x = \frac{1}{3}$:

$$2x = \pm \arccos\left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left( \frac{1}{3} \right) + \pi n$$

Окончательный ответ:

$$\boxed{ x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left( -\frac{1}{4} \right) + \pi n, \quad x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left( \frac{1}{3} \right) + \pi n }$$