ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$$\sin 5x+\sin x=2+2{\cos }^{2}x$$

Решить уравнение:

$$\sin 5x + \sin x = 2 + 2 \cos^2 x;$$ $$\sin 5x + \sin x = 2 + 2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2};$$ $$\sin 5x + \sin x = 2 + 1 + \cos 2x;$$ $$\sin 5x + \sin x — \cos 2x = 3;$$

Выполняются следующие неравенства:

$$\sin 5x \leq 1;$$ $$\sin x \leq 1;$$ $$\cos 2x \geq -1;$$ $$\sin 5x + \sin x — \cos 2x \leq 3;$$

Первое уравнение:

$$\sin 5x = 1;$$ $$5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5};$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{5} — \frac{2\pi}{5} = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi (n-1)}{5};$$

Второе уравнение:

$$\sin x = 1;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Третье уравнение:

$$\cos 2x = -1;$$ $$2x = \pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$.

Решить уравнение:

$$\sin 5x + \sin x = 2 + 2 \cos^2 x$$

Шаг 1: Упростим правую часть

Используем тригонометрическое тождество:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Подставим это в правую часть:

$$2 + 2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} = 2 + (1 + \cos 2x) = 3 + \cos 2x$$

Теперь уравнение принимает вид:

$$\sin 5x + \sin x = 3 + \cos 2x \Rightarrow \sin 5x + \sin x — \cos 2x = 3$$

Шаг 2: Исследуем максимальное значение левой части

Рассмотрим:

$$\sin 5x \leq 1, \quad \sin x \leq 1, \quad \cos 2x \geq -1$$

Следовательно:

$$\sin 5x + \sin x \leq 2, \quad -\cos 2x \leq 1 \Rightarrow -\cos 2x \leq 1$$

То есть:

$$\sin 5x + \sin x — \cos 2x \leq 2 + 1 = 3$$

Таким образом, максимальное значение левой части равно 3, и оно достигается, если одновременно:

• $\sin 5x = 1$
• $\sin x = 1$
• $\cos 2x = -1$

Если это удастся — получим решение уравнения.

Шаг 3: Найдём $x$, при которых выполняются эти условия

Условие 1: $\sin 5x = 1$

Решим:

$$\sin 5x = 1 \Rightarrow 5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$$

Условие 2: $\sin x = 1$

Решим:

$$\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

Условие 3: $\cos 2x = -1$

Решим:

$$\cos 2x = -1 \Rightarrow 2x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$$

Шаг 4: Найдём общее значение $x$, удовлетворяющее всем трём условиям

Сравним:

• Из $\sin x = 1$:                $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
• Из $\cos 2x = -1$:               $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Чтобы оба выполнялись:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad \text{(подходит и для второго условия, т.к. } \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi (2n) \text{)}$$

Теперь проверим, удовлетворяет ли это значение первому уравнению $\sin 5x = 1$.

Подставим:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow 5x = \frac{5\pi}{2} + 10\pi n \Rightarrow \sin 5x = \sin\left( \frac{5\pi}{2} + 10\pi n \right)$$

А так как:

$$\sin\left( \frac{5\pi}{2} + 2\pi k \right) = \sin \frac{5\pi}{2} = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$

Значит, при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ выполняются все три условия.

Окончательный ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$