ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$$(\sin x+\sqrt{3}\cos x)\cdot \sin 3x=2$$

Решить уравнение:

$$(\sin x+\sqrt{3}\cos x)\cdot \sin 3x=2;$$$$\sqrt{1+3}\cos (x-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+3}})\cdot \sin 3x=2;$$$$2\cos (x-\arcsin \frac{1}{2})\cdot \sin 3x=2;$$$$\sin 3x\cdot \cos (x-\frac{\pi }{6})=1;$$$$\frac{\sin (3x+(x-\frac{\pi }{6}))+\sin (3x-(x-\frac{\pi }{6}))}{2}=1;$$$$\sin (4x-\frac{\pi }{6})+\sin (2x+\frac{\pi }{6})=2;$$

Выполняются следующие неравенства:

$$\sin (4x-\frac{\pi }{6})\le 1;$$$$\sin (2x+\frac{\pi }{6})\le 1;$$$$\sin (4x-\frac{\pi }{6})+\sin (2x+\frac{\pi }{6})\le 2;$$

Первое уравнение:

$$\sin (4x-\frac{\pi }{6})=1;$$$$4x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2\pi n;$$$$x=\frac{1}{4}(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}+2\pi n)=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\sin (2x+\frac{\pi }{6})=1;$$$$2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2\pi n;$$$$x=\frac{1}{2}(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}+2\pi n)=\frac{\pi }{6}+\pi n;$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{\pi }{6}+\pi n}}$.

Решить уравнение:

$$(\sin x+\sqrt{3}\cos x)\cdot \sin 3x=2$$

Шаг 1: Преобразуем сумму в скобках в тригонометрическое выражение

Выражение:

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x$$

можно представить как:

$$R\cos (x-\alpha )$$

где:

• $R=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=2$
• угол $\alpha$ находится из:$$\cos \alpha =\frac{a}{R}=\frac{1}{2},\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \alpha =\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi }{3},\text{НО! это неверно }$$

Так как $\sin x+\sqrt{3}\cos x=R\cos (x-\theta )$, а

$$R\cos (x-\theta )=a\sin x+b\cos x\Rightarrow \sin x+\sqrt{3}\cos x\Rightarrow \{\begin{array}{rl}{\displaystyle a}& {\displaystyle =R\cos \theta =1}\\ {\displaystyle b}& {\displaystyle =R\sin \theta =\sqrt{3}}\end{array}$$

$$\Rightarrow \tan \theta =\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}\Rightarrow \theta =\arctan \sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$$

Значит:

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\cos (x-\frac{\pi }{3})$$

Шаг 2: Подставим в исходное уравнение

$$2\cos (x-\frac{\pi }{3})\cdot \sin 3x=2$$

Разделим обе части на 2:

$$\cos (x-\frac{\pi }{3})\cdot \sin 3x=1$$

Шаг 3: Используем формулу произведения тригонометрических функций

Формула:

$$\cos A\cdot \sin B=\frac{1}{2}[\sin (A+B)+\sin (B-A)]$$

Пусть:

• $A=x-\frac{\pi }{3}$
• $B=3x$

Тогда:

$$\cos (x-\frac{\pi }{3})\cdot \sin 3x=\frac{1}{2}[\sin (3x+x-\frac{\pi }{3})+\sin (3x-x+\frac{\pi }{3})]=$$

$$=\frac{1}{2}[\sin (4x-\frac{\pi }{3})+\sin (2x+\frac{\pi }{3})]$$

Таким образом:

$$\frac{1}{2}[\sin (4x-\frac{\pi }{3})+\sin (2x+\frac{\pi }{3})]=1$$

Умножим обе части на 2:

$$\sin (4x-\frac{\pi }{3})+\sin (2x+\frac{\pi }{3})=2$$

Шаг 4: Анализ уравнения

Мы знаем, что:

• $\sin A\le 1$ для любого $A$
• Следовательно: $\sin A+\sin B\le 2$

То есть максимум достигается только если обе синус-функции равны 1:

$$\sin (4x-\frac{\pi }{3})=1\text{и}\sin (2x+\frac{\pi }{3})=1$$

Шаг 5: Решаем первое уравнение

$$\sin (4x-\frac{\pi }{3})=1\Rightarrow 4x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2\pi n\Rightarrow$$

$$4x=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}+2\pi n=\frac{5\pi }{6}+2\pi n\Rightarrow x=\frac{5\pi }{24}+\frac{\pi n}{2}$$

Шаг 6: Решаем второе уравнение

$$\sin (2x+\frac{\pi }{3})=1\Rightarrow 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2\pi m\Rightarrow$$

$$2x=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}+2\pi m=\frac{\pi }{6}+2\pi m\Rightarrow x=\frac{\pi }{12}+\pi m$$

Шаг 7: Найдём общее решение

Найти $x$, удовлетворяющее обеим:

• $x=\frac{5\pi }{24}+\frac{\pi n}{2}$
• $x=\frac{\pi }{12}+\pi m$

Проверим, есть ли общее значение.

Пусть:

$$\frac{5\pi }{24}+\frac{\pi n}{2}=\frac{\pi }{12}+\pi m\Rightarrow \frac{5}{24}+\frac{n}{2}=\frac{1}{12}+m$$

Домножим всё на 24:

$$5+12n=2+24m\Rightarrow 12n=24m-3\Rightarrow n=2m-\frac{1}{4}$$

Так как $n$ и $m$ должны быть целыми, а правое выражение не даёт целого $n$, то совпадений нет.

Шаг 8: Вернёмся к более удобному решению

Ранее при разборе задачи в изображении найдено решение:

• $\sin (4x-\frac{\pi }{6})=1$
• $\sin (2x+\frac{\pi }{6})=1$

Это тоже приводит к:

$$x=\frac{\pi }{6}+\pi n$$

Проверим:

• $\sin x=\sin (\frac{\pi }{6}+\pi n)=\frac{1}{2}\cdot (-1{)}^n$
• $\cos x=\cos (\frac{\pi }{6}+\pi n)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (-1{)}^n$

Значит:

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=\frac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$$$$\sin 3x=\sin (3\cdot (\frac{\pi }{6}+\pi n))=\sin (\frac{\pi }{2}+3\pi n)=1\cdot (-1{)}^n$$

То есть:

$$(\sin x+\sqrt{3}\cos x)\cdot \sin 3x=2\cdot 1=2\text{(равенство выполнено)}$$

Окончательный ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{6}+\pi n}},n\in \mathbb{Z}$$