ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$$\cos 2x\cdot (1-\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x)=1$$

Решить уравнение:

$$\cos 2x \cdot \left(1 — \frac{3}{4} \sin^2 2x\right) = 1;$$

Выполняются следующие неравенства:

$$\cos 2x \leq 1;$$ $$\sin^2 2x \geq 0;$$ $$\cos 2x \cdot \left(1 — \frac{3}{4} \sin^2 2x\right) \leq 1;$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 1;$$ $$2x = 2\pi n;$$ $$x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $\pi n$.

Давайте подробно и поэтапно решим уравнение:

$$\cos 2x \cdot \left(1 — \frac{3}{4} \sin^2 2x\right) = 1$$

Шаг 1. Анализ уравнения

Исходное уравнение:

$$\cos 2x \cdot \left(1 — \frac{3}{4} \sin^2 2x\right) = 1$$

Это произведение двух выражений. Заметим, что значения тригонометрических функций ограничены:

• $\cos 2x \in [-1, 1]$
• $\sin^2 2x \in [0, 1]$

Так как произведение $\cos 2x \cdot \left(1 — \frac{3}{4} \sin^2 2x\right)$ должно быть равно 1, а каждое из множителей не больше 1 по модулю, то единственный способ, чтобы произведение равнялось 1 — это чтобы оба множителя были равны 1, либо их комбинация давала точное значение 1 при меньших значениях одного из них. Разберём подробнее.

Шаг 2. Оценка значений выражения

Рассмотрим диапазоны:

• $\cos 2x \leq 1$
• $1 — \frac{3}{4} \sin^2 2x \leq 1$, потому что $\sin^2 2x \geq 0$

Значит, произведение:

$$\cos 2x \cdot \left(1 — \frac{3}{4} \sin^2 2x\right) \leq 1$$

Чтобы произведение было равно 1, необходимо:

• $\cos 2x = 1$
• и $\left(1 — \frac{3}{4} \sin^2 2x\right) = 1$

Так как $1 \cdot 1 = 1$, это единственная возможность, иначе произведение меньше 1.

Шаг 3. Решим первое уравнение: $\cos 2x = 1$

$$\cos 2x = 1 \Rightarrow 2x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Разделим обе части на 2:

$$x = \pi n$$

Шаг 4. Проверим, что при $x = \pi n$ второе выражение также равно 1

Найдём $\sin 2x$ при $x = \pi n$:

$$2x = 2\pi n \Rightarrow \sin 2x = \sin 2\pi n = 0$$

Тогда:

$$1 — \frac{3}{4} \cdot \sin^2 2x = 1 — \frac{3}{4} \cdot 0 = 1$$

Подходит.

Шаг 5. Проверим альтернативные корни (дополнительные)

Рассмотрим второй путь — пусть:

$$1 — \frac{3}{4} \sin^2 2x = 0 \Rightarrow \frac{3}{4} \sin^2 2x = 1 \Rightarrow \sin^2 2x = \frac{4}{3}$$

Но это невозможно, поскольку $\sin^2 2x \leq 1$ всегда. Следовательно, такого корня нет.

Шаг 6. Подумать о других решениях

Можно рассмотреть: может ли произведение $\cos 2x \cdot \left(1 — \frac{3}{4} \sin^2 2x\right) = 1$ быть достигнуто, когда ни один из множителей не равен 1, но их произведение всё равно 1?

Пусть:

$$A = \cos 2x, \quad B = 1 — \frac{3}{4} \sin^2 2x$$

Тогда:

$$A \cdot B = 1 \Rightarrow B = \frac{1}{A} \Rightarrow 1 — \frac{3}{4} \sin^2 2x = \frac{1}{\cos 2x}$$

Подставим:

$$\frac{1}{\cos 2x} + \frac{3}{4} \sin^2 2x = 1 \Rightarrow \text{Неравенство: }\frac{1}{\cos 2x} > 1 \text{ при } \cos 2x < 1$$

Но это уводит нас в более сложные случаи, при которых $\cos 2x \cdot B = 1$, но $B > 1$, что невозможно, так как:

$$B = 1 — \frac{3}{4} \sin^2 2x \leq 1 \Rightarrow \frac{1}{\cos 2x} \leq 1 \Rightarrow \cos 2x \geq 1$$

А это возможно только при $\cos 2x = 1$. Следовательно, снова возвращаемся к единственному варианту.

Шаг 7. Второй путь: решить уравнение $\sin 2x = 0$

Это удобно, потому что если $\sin 2x = 0$, то:

$$1 — \frac{3}{4} \cdot \sin^2 2x = 1$$

Тогда уравнение превращается в:

$$\cos 2x \cdot 1 = 1 \Rightarrow \cos 2x = 1$$

То есть снова приходим к $\cos 2x = 1$

Найдём решение:

$$\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$$

Но проверим, удовлетворяет ли это условию $\cos 2x = 1$?

$$\cos 2x = \cos \pi n = \begin{cases} 1, & \text{если } n \text{ чётное} \\ -1, & \text{если } n \text{ нечётное} \end{cases}$$

Только при чётных $n$: $n = 2k \Rightarrow x = \frac{\pi \cdot 2k}{2} = \pi k$

То есть снова $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$