ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

$$tg(x-{15}^{\circ })\cdot ctg(x+{15}^{\circ })=\frac{1}{3};$$

$$tg(x-15^\circ) \cdot ctg(x+15^\circ) = \frac{1}{3};$$ $$\frac{\sin (x-{15}^{\circ })\cdot \cos (x+{15}^{\circ })}{\cos (x-{15}^{\circ })\cdot \sin (x+{15}^{\circ })}=\frac{1}{3};$$

$$\frac{\sin(x-15^\circ) \cdot \cos(x+15^\circ)}{\cos(x-15^\circ) \cdot \sin(x+15^\circ)} = \frac{1}{3};$$ $$\frac{\sin ((x-{15}^{\circ })+(x+{15}^{\circ }))+\sin ((x-{15}^{\circ })-(x+{15}^{\circ }))}{\sin ((x+{15}^{\circ })+(x-{15}^{\circ }))+\sin ((x+{15}^{\circ })-(x-{15}^{\circ }))}=\frac{1}{3};$$

$$\frac{\sin((x-15^\circ)+(x+15^\circ)) + \sin((x-15^\circ)-(x+15^\circ))}{\sin((x+15^\circ)+(x-15^\circ)) + \sin((x+15^\circ)-(x-15^\circ))} = \frac{1}{3};$$ $$\frac{\sin 2x-\sin {30}^{\circ }}{\sin 2x+\sin {30}^{\circ }}=\frac{1}{3};$$

$$\frac{\sin 2x — \sin 30^\circ}{\sin 2x + \sin 30^\circ} = \frac{1}{3};$$ $$\frac{\sin 2x-0,5}{\sin 2x+0,5}=\frac{1}{3};$$

$$\frac{\sin 2x — 0,5}{\sin 2x + 0,5} = \frac{1}{3};$$ $$3(\sin 2x-0,5)=\sin 2x+0,5;$$

$$3(\sin 2x — 0,5) = \sin 2x + 0,5;$$ $$3\sin 2x-1,5=\sin 2x+0,5;$$

$$3 \sin 2x — 1,5 = \sin 2x + 0,5;$$ $$2\sin 2x=2;$$

$$2 \sin 2x = 2;$$ $$\sin 2x=1;$$

$$\sin 2x = 1;$$ $$2x=\frac{\pi }{2}+2\pi n;$$

$$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n = 45^\circ + 180^\circ n;$$

Ответ: $45^\circ + 180^\circ n$.

Решить уравнение:

$$\tg(x — 15^\circ) \cdot \ctg(x + 15^\circ) = \frac{1}{3}$$

Шаг 1: Выразим $\tg$ и $\ctg$ через синус и косинус

Напомним:

$$\tg A = \frac{\sin A}{\cos A}, \quad \ctg A = \frac{\cos A}{\sin A}$$

Подставим в уравнение:

$$\frac{\sin(x — 15^\circ)}{\cos(x — 15^\circ)} \cdot \frac{\cos(x + 15^\circ)}{\sin(x + 15^\circ)} = \frac{1}{3}$$

Объединяем в одну дробь:

$$\frac{\sin(x — 15^\circ) \cdot \cos(x + 15^\circ)}{\cos(x — 15^\circ) \cdot \sin(x + 15^\circ)} = \frac{1}{3}$$

Шаг 2: Применим формулу произведения $\sin A \cos B$

Формула:

$$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A — B)]$$

Числитель:

$$\sin(x — 15^\circ)\cos(x + 15^\circ) = \frac{1}{2}[\sin((x — 15^\circ) + (x + 15^\circ)) + \sin((x — 15^\circ) — (x + 15^\circ))]$$

Рассчитаем аргументы:

• $(x — 15^\circ) + (x + 15^\circ) = 2x$
• $(x — 15^\circ) — (x + 15^\circ) = -30^\circ$

Тогда:

$$\sin(x — 15^\circ)\cos(x + 15^\circ) = \frac{1}{2}[\sin 2x + \sin(-30^\circ)]$$

Знаменатель:

$$\cos(x — 15^\circ)\sin(x + 15^\circ) = \frac{1}{2}[\sin((x + 15^\circ) + (x — 15^\circ)) + \sin((x + 15^\circ) — (x — 15^\circ))]$$

Аналогично:

• $(x + 15^\circ) + (x — 15^\circ) = 2x$
• $(x + 15^\circ) — (x — 15^\circ) = 30^\circ$

Получаем:

$$\cos(x — 15^\circ)\sin(x + 15^\circ) = \frac{1}{2}[\sin 2x + \sin 30^\circ]$$

Шаг 3: Подставим в основное уравнение

$$\frac{\frac{1}{2}[\sin 2x + \sin(-30^\circ)]}{\frac{1}{2}[\sin 2x + \sin 30^\circ]} = \frac{1}{3}$$

Сократим обе части на $\frac{1}{2}$:

$$\frac{\sin 2x + \sin(-30^\circ)}{\sin 2x + \sin 30^\circ} = \frac{1}{3}$$

$\sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$, поэтому:

$$\frac{\sin 2x — 0.5}{\sin 2x + 0.5} = \frac{1}{3}$$

Шаг 4: Решаем дробное уравнение

$$\frac{\sin 2x — 0.5}{\sin 2x + 0.5} = \frac{1}{3}$$

Перемножим крест-накрест:

$$3(\sin 2x — 0.5) = \sin 2x + 0.5$$

Раскроем скобки:

$$3 \sin 2x — 1.5 = \sin 2x + 0.5$$

Переносим:

$$3 \sin 2x — \sin 2x = 0.5 + 1.5 \Rightarrow 2 \sin 2x = 2 \Rightarrow \sin 2x = 1$$

Шаг 5: Решим $\sin 2x = 1$

$$\sin 2x = 1 \Rightarrow 2x = 90^\circ + 360^\circ n \Rightarrow x = 45^\circ + 180^\circ n$$

Ответ:

$$\boxed{x = 45^\circ + 180^\circ n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$