ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$$8{\sin }^{6}x+3\cos 2x+2\cos 4x+1=0$$

Решить уравнение:

$$8{\sin }^{6}x+3\cos 2x+2\cos 4x+1=0;$$

$$$$$$8\cdot {\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)}^3+3\cos 2x+2({\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x)+1=0;$$

$$$$$$(1-\cos 2x{)}^3+3\cos 2x+2({\cos }^{2}2x-(1-{\cos }^{2}2x))+1=0;$$

Пусть $y=\cos 2x$, тогда:

$$(1-y{)}^3+3y+2(y^2-(1-y^2))+1=0;$$

$$$$$$1-3y+3y^2-y^3+3y+2y^2-2+2y^2+1=0;$$

$$$$$$7y^2-y^3=0;$$

$$$$$$y^2(7-y)=0;$$

$$$$$$y_1=0\text{и}{y}_2=7;$$

Первое значение:

$$\cos 2x=0;$$

$$$$$$2x=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$

$$$$$$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\cos 2x=7\text{— корней нет};$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}}}$.

Дано уравнение:

$$8{\sin }^{6}x+3\cos 2x+2\cos 4x+1=0$$

Шаг 1. Преобразуем ${\sin }^{6}x$ через $\cos 2x$

Мы знаем:

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

Следовательно:

$${\sin }^{6}x=({\sin }^{2}x{)}^3={\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)}^3$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$8\cdot {\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)}^3+3\cos 2x+2\cos 4x+1=0$$

Упростим:

$$8\cdot \left(\frac{(1-\cos 2x{)}^3}{8}\right)+3\cos 2x+2\cos 4x+1=0\Rightarrow$$

$$(1-\cos 2x{)}^3+3\cos 2x+2\cos 4x+1=0$$

Шаг 2. Раскроем куб и упростим $\cos 4x$

Раскрываем куб:

$$(1-\cos 2x{)}^3=1-3\cos 2x+3{\cos }^{2}2x-{\cos }^{3}2x$$

Также воспользуемся формулой:

$$\cos 4x=2{\cos }^{2}2x-1\Rightarrow 2\cos 4x=4{\cos }^{2}2x-2$$

Теперь подставим всё в уравнение:

$$(1-3\cos 2x+3{\cos }^{2}2x-{\cos }^{3}2x)+3\cos 2x+(4{\cos }^{2}2x-2)+1=0$$

Шаг 3. Группируем подобные члены

Сгруппируем:

• Постоянные: $1-2+1=0$
• $\cos 2x$: $-3\cos 2x+3\cos 2x=0$
• ${\cos }^{2}2x$: $3{\cos }^{2}2x+4{\cos }^{2}2x=7{\cos }^{2}2x$
• $-{\cos }^{3}2x$

Итог:

$$7{\cos }^{2}2x-{\cos }^{3}2x=0$$

Шаг 4. Вводим замену $y=\cos 2x$

Подставляем:

$$7y^2-y^3=0\Rightarrow y^2(7-y)=0$$

Шаг 5. Найдём корни уравнения

$$y^2(7-y)=0\Rightarrow y_1=0,y_2=7$$

Шаг 6. Решим $\cos 2x=y$

Для $y_1=0$:

$$\cos 2x=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$$

Для $y_2=7$:

$$\cos 2x=7\text{— невозможно, т.к. }\cos 2x\in [-1,1]\Rightarrow \text{Нет решений}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}}}$$