ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 31 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение методом введения новой переменной:

а) x^4 — 2х^2 — 8 = 0;

б) х^4 — 11x^2 + 18 = 0;

в) 2(x^2 — 1)^2 — 13(x^2 — 1) — 24 = 0;

г) (x^2 — 4x)^2 + 9(x^2 — 4х) + 20 = 0.

а) $x^4 — 2x^2 — 8 = 0$

Пусть $y = x^2$, тогда:
$y^2 — 2y — 8 = 0;$

$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36$, тогда:
$y_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4;$

Первое значение:
$x^2 = -2 \quad \text{— нет корней};$

Второе значение:
$x^2 = 4;$
$x = \pm \sqrt{4} = \pm 2;$

Ответ: $-2; 2$.

б) $x^4 — 11x^2 + 18 = 0$

Пусть $y = x^2$, тогда:
$y^2 — 11y + 18 = 0;$

$D = 11^2 — 4 \cdot 18 = 121 — 72 = 49$, тогда:
$y_1 = \frac{11 — 7}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{11 + 7}{2} = 9;$

Первое значение:
$x^2 = 2;$
$x = \pm \sqrt{2};$

Второе значение:
$x^2 = 9;$
$x = \pm \sqrt{9} = \pm 3;$

Ответ: $-3; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 3$.

в) $2(x^2 — 1)^2 — 13(x^2 — 1) — 24 = 0$

Пусть $y = x^2 — 1$, тогда:
$2y^2 — 13y — 24 = 0;$

$D = 13^2 + 4 \cdot 2 \cdot 24 = 169 + 192 = 361$, тогда:
$y_1 = \frac{13 — 19}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5;$
$y_2 = \frac{13 + 19}{2 \cdot 2} = \frac{32}{4} = 8;$

Первое значение:
$x^2 — 1 = -1.5;$
$x^2 = -0.5 \quad \text{— нет корней};$

Второе значение:
$x^2 — 1 = 8;$
$x^2 = 9;$
$x = \pm \sqrt{9} = \pm 3;$

Ответ: $-3; 3$.

г) $(x^2 — 4x)^2 + 9(x^2 — 4x) + 20 = 0$

Пусть $y = x^2 — 4x$, тогда:
$y^2 + 9y + 20 = 0;$

$D = 9^2 — 4 \cdot 20 = 81 — 80 = 1$, тогда:
$y_1 = \frac{-9 — 1}{2} = -5 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-9 + 1}{2} = -4;$

Первое значение:
$x^2 — 4x = -5;$
$x^2 — 4x + 5 = 0;$
$D = 4^2 — 4 \cdot 5 = 16 — 20 = -4;$
$D < 0 \quad \text{— корней нет};$

Второе значение:
$x^2 — 4x = -4;$
$x^2 — 4x + 4 = 0;$
$(x — 2)^2 = 0;$
$x — 2 = 0;$
$x = 2;$

Ответ: $2$.

а) $x^4 — 2x^2 — 8 = 0$

Шаг 1. Подстановка.

Заменим $x^2$ на $y$, так как у нас есть $x^4$, которое можно представить как $(x^2)^2 = y^2$. Таким образом, уравнение примет вид:

$$y^2 — 2y — 8 = 0$$

Теперь это обычное квадратное уравнение по переменной $y$.

Шаг 2. Вычисление дискриминанта.

Для решения квадратного уравнения используем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -2$, $c = -8$. Подставляем в формулу:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

Шаг 3. Нахождение корней уравнения.

Теперь, используя дискриминант, находим корни квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ $$y_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Шаг 4. Обратная подстановка.

Теперь вернемся к переменной $x$. У нас два значения для $y$:

1. $x^2 = -2$ — это невозможно, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Значит, для $y_1 = -2$ нет корней.
2. $x^2 = 4$, из чего следует, что:

   $$x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$$

Ответ: $-2; 2$.

б) $x^4 — 11x^2 + 18 = 0$

Шаг 1. Подстановка.

Как и в предыдущем случае, подставим $y = x^2$, чтобы упростить уравнение:

$$y^2 — 11y + 18 = 0$$

Шаг 2. Вычисление дискриминанта.

В данном уравнении $a = 1$, $b = -11$, $c = 18$. Вычислим дискриминант:

$$D = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 — 72 = 49$$

Шаг 3. Нахождение корней уравнения.

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-11) — \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 — 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Шаг 4. Обратная подстановка.

Теперь подставляем обратно $y = x^2$:

1. $x^2 = 2$, из чего $x = \pm \sqrt{2}$.
2. $x^2 = 9$, из чего $x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$.

Ответ: $-3; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 3$.

в) $2(x^2 — 1)^2 — 13(x^2 — 1) — 24 = 0$

Шаг 1. Подстановка.

Подставим $y = x^2 — 1$, чтобы упростить уравнение:

$$2y^2 — 13y — 24 = 0$$

Шаг 2. Вычисление дискриминанта.

В этом уравнении $a = 2$, $b = -13$, $c = -24$. Находим дискриминант:

$$D = (-13)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-24) = 169 + 192 = 361$$

Шаг 3. Нахождение корней уравнения.

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-(-13) — \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \frac{13 — 19}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$$ $$y_2 = \frac{-(-13) + \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 19}{4} = \frac{32}{4} = 8$$

Шаг 4. Обратная подстановка.

Теперь подставляем $y = x^2 — 1$:

1. $x^2 — 1 = -1.5$, из чего $x^2 = -0.5$ — нет корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
2. $x^2 — 1 = 8$, из чего $x^2 = 9$, а значит $x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$.

Ответ: $-3; 3$.

г) $(x^2 — 4x)^2 + 9(x^2 — 4x) + 20 = 0$

Шаг 1. Подстановка.

Подставим $y = x^2 — 4x$, чтобы упростить уравнение:

$$y^2 + 9y + 20 = 0$$

Шаг 2. Вычисление дискриминанта.

В этом уравнении $a = 1$, $b = 9$, $c = 20$. Находим дискриминант:

$$D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 — 80 = 1$$

Шаг 3. Нахождение корней уравнения.

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-9 — \sqrt{1}}{2} = \frac{-9 — 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ $$y_2 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Шаг 4. Обратная подстановка.

Теперь подставляем $y = x^2 — 4x$:

1. $x^2 — 4x = -5$, уравнение становится:

   $$x^2 — 4x + 5 = 0$$

   Для этого уравнения находим дискриминант:

   $$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4$$

   Дискриминант отрицателен, значит, корней нет.

2. $x^2 — 4x = -4$, уравнение становится:

   $$x^2 — 4x + 4 = 0$$

   Это уравнение можно переписать как:

   $$(x — 2)^2 = 0$$

   Из этого уравнения следует, что:

   $$x — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

Ответ: $x = 2$.

Итоговые ответы:

• а) $-2; 2$
• б) $-3; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 3$
• в) $-3; 3$
• г) $2$