ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Для комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ найдите их сумму $z_1+z_2$ и разность $z_1-z_2$, если:

а) $z_1=1+i$, $z_2=1-i$;

б) $z_1=1+i$, $z_2=-1+2i$;

в) $z_1=-i$, $z_2=1-i$;

г) $z_1=i^3+4i^4$, $z_2=i^2-3(-i{)}^3$

Для комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ найти их сумму $z_1+z_2$ и разность $z_1-z_2$, если:

а) $z_1=1+i$ и $z_2=1-i$;

$$z_1+z_2=(1+i)+(1-i)=2;$$$$z_1-z_2=(1+i)-(1-i)=2i;$$

Ответ: $2;2i$.

б) $z_1=1+i$ и $z_2=-1+2i$;

$$z_1+z_2=(1+i)+(-1+2i)=3i;$$$$z_1-z_2=(1+i)-(-1+2i)=2-i;$$

Ответ: $3i;2-i$.

в) $z_1=-i$ и $z_2=1-i$;

$$z_1+z_2=-i+(1-i)=1-2i;$$$$z_1-z_2=-i-(1-i)=-1;$$

Ответ: $1-2i;-1$.

г) $z_1=i^3+4i^4$ и $z_2=i^2-3(-i{)}^3$;

$$z_1=i^3+4i^4=i^2\cdot i+4\cdot (i^2{)}^2=-i+4;$$$$z_2=i^2-3(-i{)}^3=i^2+3i\cdot i^2=i^2+3i\cdot i^2=-1-3i;$$$$z_1+z_2=(-i+4)+(-1-3i)=3-4i;$$$$z_1-z_2=(-i+4)-(-1-3i)=5+2i;$$

Ответ: $3-4i;5+2i$.

Цель:

Для заданных комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ найти:

• сумму $z_1+z_2$
• разность $z_1-z_2$

а) $z_1=1+i$, $z_2=1-i$

Сумма:

$$z_1+z_2=(1+i)+(1-i)$$

Складываем отдельно действительные и мнимые части:

$$=(1+1)+(i-i)=2+0=2$$

Разность:

$$z_1-z_2=(1+i)-(1-i)$$$$=(1-1)+(i-(-i))=0+2i=2i$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 2;2i}}$

б) $z_1=1+i$, $z_2=-1+2i$

Сумма:

$$z_1+z_2=(1+i)+(-1+2i)$$$$=(1-1)+(i+2i)=0+3i=3i$$

Разность:

$$z_1-z_2=(1+i)-(-1+2i)$$$$=(1-(-1))+(i-2i)=2-i$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 3i;2-i}}$

в) $z_1=-i$, $z_2=1-i$

Сумма:

$$z_1+z_2=(-i)+(1-i)$$$$=1+(-i-i)=1-2i$$

Разность:

$$z_1-z_2=(-i)-(1-i)$$$$=-i-1+i=-1$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 1-2i;-1}}$

г) $z_1=i^3+4i^4$, $z_2=i^2-3(-i{)}^3$

Вычислим $z_1$:

$$z_1=i^3+4i^4$$

Напомним:

• $i^1=i$
• $i^2=-1$
• $i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i$
• $i^4=(i^2{)}^2=(-1{)}^2=1$

Подставим:

$$z_1=-i+4\cdot 1=-i+4$$

Вычислим $z_2$:

$$z_2=i^2-3(-i{)}^3$$

Сначала найдём $(-i{)}^3$:

$$(-i{)}^3=(-i{)}^2\cdot (-i)=i^2\cdot (-i)=-1\cdot (-i)=i$$

Теперь подставим:

$$z_2=i^2-3\cdot i=-1-3i$$

Сумма:

$$z_1+z_2=(-i+4)+(-1-3i)$$

Складываем:

$$=(4-1)+(-i-3i)=3-4i$$

Разность:

$$z_1-z_2=(-i+4)-(-1-3i)$$$$=-i+4+1+3i=(4+1)+(-i+3i)=5+2i$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 3-4i;5+2i}}$