ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дана арифметическая прогрессия с первым членом, равным 3 — 2i, и разностью, равной -1 + i.

a) Составьте формулу n-го члена прогрессии;

б) найдите значение 15-го члена прогрессии;

в) найдите сумму первых 20 членов этой прогрессии;

г) найдите сумму членов прогрессии с 10-го до 40-го.

Дана арифметическая прогрессия:

$$a_1 = 3 — 2i, \quad d = -1 + i;$$

а) Составим формулу $n$-го члена прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1);$$ $$a_n = 3 — 2i + (-1 + i)(n — 1);$$ $$a_n = 3 — 2i — n + 1 + in — i;$$ $$a_n = (4 — n) + (n — 3)i;$$

б) Найдём значение 15-го члена прогрессии:

$$a_{15} = a_1 + d(15 — 1) = a_1 + 14d;$$ $$a_{15} = (3 — 2i) + 14(-1 + i);$$ $$a_{15} = 3 — 2i — 14 + 14i = -11 + 12i;$$

Ответ: $-11 + 12i$.

в) Найдём сумму первых 20 членов этой прогрессии:

$$S_{20} = \frac{2a_1 + d(20 — 1)}{2} \cdot 20;$$ $$S_{20} = \left( 2(3 — 2i) + 19(-1 + i) \right) \cdot 10;$$ $$S_{20} = (6 — 4i — 19 + 19i) \cdot 10;$$ $$S_{20} = (-13 + 15i) \cdot 10 = -130 + 150i;$$

Ответ: $-130 + 150i$.

г) Найдём сумму членов прогрессии с 10-го до 40-го:

$$S_9 = \frac{2a_1 + 8d}{2} \cdot 9 = \left( 2(3 — 2i) + 8(-1 + i) \right) \cdot \frac{9}{2} = -9 + 18i;$$ $$S_{40} = \frac{2a_1 + 39d}{2} \cdot 40 = \left( 2(3 — 2i) + 39(-1 + i) \right) \cdot 20 = -660 + 700i;$$ $$S_{10-40} = S_{40} — S_9 = (-660 + 700i) — (-9 + 18i) = -651 + 682i;$$

Ответ: $-651 + 682i$.

Арифметическая прогрессия:

$$a_1 = 3 — 2i, \quad d = -1 + i$$

а) Найдём формулу $n$-го члена прогрессии

Формула общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Подставим $a_1 = 3 — 2i$, $d = -1 + i$:

$$a_n = (3 — 2i) + (-1 + i)(n — 1)$$

Раскроем скобки:

$$a_n = 3 — 2i + (-1)(n — 1) + i(n — 1)$$

Раскроем каждое произведение:

• $(-1)(n — 1) = -n + 1$
• $i(n — 1) = in — i$

Теперь подставим:

$$a_n = 3 — 2i — n + 1 + in — i$$

Соберём действительные и мнимые части:

• Действительная часть: $3 + 1 — n = 4 — n$
• Мнимая часть: $-2i + in — i = (in — 3i) = (n — 3)i$

$$a_n = (4 — n) + (n — 3)i$$

б) Найдём значение 15-го члена прогрессии

Формула:

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Для $n = 15$:

$$a_{15} = (3 — 2i) + (-1 + i)(15 — 1) = (3 — 2i) + 14(-1 + i)$$

Посчитаем:

• $14 \cdot (-1) = -14$
• $14 \cdot i = 14i$

$$a_{15} = (3 — 2i) + (-14 + 14i)$$

Складываем действительные и мнимые части:

• Действительная часть: $3 — 14 = -11$
• Мнимая часть: $-2i + 14i = 12i$

$$a_{15} = -11 + 12i$$

Ответ: $\boxed{-11 + 12i}$

в) Найдём сумму первых 20 членов прогрессии

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n$$

Подставим:

• $a_1 = 3 — 2i$
• $d = -1 + i$
• $n = 20$

$$S_{20} = \frac{2(3 — 2i) + (-1 + i)(19)}{2} \cdot 20$$

Посчитаем каждую часть:

• $2(3 — 2i) = 6 — 4i$
• $(-1 + i) \cdot 19 = -19 + 19i$

$$2a_1 + d(n — 1) = (6 — 4i) + (-19 + 19i) = -13 + 15i$$

Теперь считаем сумму:

$$S_{20} = \frac{-13 + 15i}{2} \cdot 20 = (-13 + 15i) \cdot 10 = -130 + 150i$$

Ответ: $\boxed{-130 + 150i}$

г) Найдём сумму членов с 10-го по 40-й включительно

Мы найдём:

$$S_{10-40} = S_{40} — S_{9}$$

Найдём $S_9$:

$$S_9 = \frac{2a_1 + d(9 — 1)}{2} \cdot 9 = \frac{2a_1 + 8d}{2} \cdot 9$$

• $2a_1 = 2(3 — 2i) = 6 — 4i$
• $8d = 8(-1 + i) = -8 + 8i$

$$2a_1 + 8d = (6 — 4i) + (-8 + 8i) = -2 + 4i$$ $$S_9 = \frac{-2 + 4i}{2} \cdot 9 = (-1 + 2i) \cdot 9 = -9 + 18i$$

Найдём $S_{40}$:

$$S_{40} = \frac{2a_1 + d(40 — 1)}{2} \cdot 40 = \frac{2a_1 + 39d}{2} \cdot 40$$

• $2a_1 = 6 — 4i$
• $39d = 39(-1 + i) = -39 + 39i$

$$2a_1 + 39d = (6 — 4i) + (-39 + 39i) = -33 + 35i$$ $$S_{40} = \frac{-33 + 35i}{2} \cdot 40 = (-33 + 35i) \cdot 20 = -660 + 700i$$

Теперь вычислим $S_{10-40}$:

$$S_{10-40} = S_{40} — S_9 = (-660 + 700i) — (-9 + 18i)$$

Раскроем скобки:

$$-660 + 700i + 9 — 18i = (-660 + 9) + (700i — 18i) = -651 + 682i$$

Ответ: $\boxed{-651 + 682i}$

Итоговые ответы:

а) $a_n = (4 — n) + (n — 3)i$

б) $a_{15} = \boxed{-11 + 12i}$

в) $S_{20} = \boxed{-130 + 150i}$

г) $S_{10-40} = \boxed{-651 + 682i}$