ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что число $z_1 + az_2$, $a \in \mathbb{R}$, является действительным, найти $a$, если:

а) $z_1 = 3 + i$, $z_2 = 6 — i$;

$az_2 = a(6 — i) = 6a — ai$;

$z_1 + az_2 = (3 + i) + (6a — ai) = (3 + 6a) + (1 — a)i$;

$1 — a = 0$;

$a = 1$;

Ответ: 1.

б) $z_1 = 12 — 13i$, $z_2 = (3 + i)^2$;

$az_2 = a(3 + i)^2 = a(9 + 6i + i^2) = 9a + 6ai — a = 8a + 6ai$;

$z_1 + az_2 = (12 — 13i) + (8a + 6ai) = (12 + 8a) + (6a — 13)i$;

$6a — 13 = 0$;

$6a = 13$;

$a = \frac{13}{6}$;

Ответ: $\frac{13}{6}$.

в) $z_1 = 8 + 3i$, $z_2 = -1 — 2i$;

$az_2 = a(-1 — 2i) = -a — 2ai$;

$z_1 + az_2 = (8 + 3i) + (-a — 2ai) = (8 — a) + (3 — 2a)i$;

$3 — 2a = 0$;

$2a = 3$;

$a = 1,5$;

Ответ: 1,5.

г) $z_1 = i$, $z_2 = (2 — 3i)^2$;

$az_2 = a(2 — 3i)^2 = a(4 — 12i + i^2) = 4a — 12ai — a = 3a — 12ai$;

$z_1 + az_2 = i + (3a — 12ai) = 3a + (1 — 12a)i$;

$1 — 12a = 0$;

$12a = 1$;

$a = \frac{1}{12}$;

Ответ: $\frac{1}{12}$.

Известно, что число $z_1 + az_2$, где $a \in \mathbb{R}$, является действительным (т.е. мнимая часть равна нулю). Нужно найти значение $a$, при котором это условие выполняется.

а)

$$z_1 = 3 + i,\quad z_2 = 6 — i$$

Найдём выражение для $az_2$:

$$az_2 = a(6 — i) = 6a — ai$$

Здесь мы просто умножили число на действительное $a$:

$$a \cdot 6 = 6a,\quad a \cdot (-i) = -ai$$

Найдём сумму $z_1 + az_2$:

$$z_1 + az_2 = (3 + i) + (6a — ai)$$

Сложим действительные и мнимые части по отдельности:

$$(3 + 6a) + (i — ai) = (3 + 6a) + (1 — a)i$$

Чтобы результат был действительным, мнимая часть должна быть равна нулю:

$$1 — a = 0 \Rightarrow a = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

б)

$$z_1 = 12 — 13i,\quad z_2 = (3 + i)^2$$

Сначала упростим $z_2 = (3 + i)^2$. Используем формулу квадрата суммы:

$$(3 + i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 = 9 + 6i + i^2$$

Поскольку $i^2 = -1$, получаем:

$$z_2 = 9 + 6i — 1 = 8 + 6i$$

Найдём $az_2$:

$$az_2 = a(8 + 6i) = 8a + 6ai$$

Сложим $z_1 + az_2$:

$$z_1 + az_2 = (12 — 13i) + (8a + 6ai)$$

Сгруппируем:

$$(12 + 8a) + (-13 + 6a)i$$

Требуем, чтобы мнимая часть была нулевой:

$$-13 + 6a = 0 \Rightarrow 6a = 13 \Rightarrow a = \frac{13}{6}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{13}{6}}$

в)

$$z_1 = 8 + 3i,\quad z_2 = -1 — 2i$$

Найдём $az_2$:

$$az_2 = a(-1 — 2i) = -a — 2ai$$

Сложим $z_1 + az_2$:

$$(8 + 3i) + (-a — 2ai) = (8 — a) + (3 — 2a)i$$

Чтобы результат был действительным, приравниваем мнимую часть к нулю:

$$3 — 2a = 0 \Rightarrow 2a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{2} = 1{,}5$$

Ответ: $\boxed{1{,}5}$

г)

$$z_1 = i,\quad z_2 = (2 — 3i)^2$$

Раскроем скобки:

$$(2 — 3i)^2 = 2^2 — 2 \cdot 3i \cdot 2 + (-3i)^2 = 4 — 12i + 9i^2$$

Поскольку $i^2 = -1$, то:

$$9i^2 = -9,\quad \Rightarrow (2 — 3i)^2 = 4 — 12i — 9 = -5 — 12i$$

Найдём $az_2$:

$$az_2 = a(-5 — 12i) = -5a — 12ai$$

Сложим $z_1 + az_2$:

$$z_1 = i = 0 + i$$ $$z_1 + az_2 = i + (-5a — 12ai) = (-5a) + (1 — 12a)i$$

Мнимая часть должна быть равна нулю:

$$1 — 12a = 0 \Rightarrow 12a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{12}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{1}{12}}$