ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Приведите примеры квадратных уравнений с действительными коэффициентами, которые:

a) имеют целые корни, но не имеют натуральных корней;

б) имеют рациональные корни, но не имеют целых корней;

в) имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней;

г) не имеют действительных корней.

Привести примеры квадратных уравнений с действительными коэффициентами, которые:

а) Имеют целые корни, но не имеют натуральных корней:

$$(x+2)x \quad => \quad x^2 + 2x = 0;$$ $$(x+3)(x+1) \quad => \quad x^2 + 4x + 3 = 0;$$ $$x^2 = 0 \quad => \quad x^2 + 5 = 5;$$

б) Имеют рациональные корни, но не имеют целых корней:

$$(3x+1)(2x-1) = 0 \quad => \quad 6x^2 — x — 1 = 0;$$ $$x^2 = \frac{4}{9} \quad => \quad 9x^2 = 4 \quad => \quad 9x^2 — 4 = 0;$$ $$(9x-1)^2 = 0 \quad => \quad 81x^2 — 18x + 1 = 0;$$

в) Имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней:

$$x^2 = 2 \quad => \quad x^2 — 1 = 1;$$ $$(x-\sqrt{3})^2 = 0 \quad => \quad x^2 — 2x\sqrt{3} + 3 = 0;$$ $$(x+\pi)(2x-\pi) = 0 \quad => \quad 2x^2 + \pi x — \pi^2 = 0;$$

г) Не имеют действительных корней ($D < 0$):

$$x^2 + x + 5 = 0;$$ $$3x^2 — 4x + 2 = 0;$$ $$x^2 + 4 = 0;$$

Привести примеры квадратных уравнений с действительными коэффициентами, которые:

а) Имеют целые корни, но не имеют натуральных корней

Целые числа — это $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$
Натуральные числа — это $1, 2, 3, \ldots$ (без 0 и отрицательных чисел)

Нужно: корни — целые, но не входят в множество натуральных.

Пример 1:

$$(x + 2)x = 0$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + 2x = 0$$

Это квадратное уравнение:

$$x^2 + 2x = 0$$

Решим методом вынесения общего множителя:

$$x(x + 2) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$

Корни: $x = 0$, $x = -2$ — оба целые, но не натуральные.

Пример 2:

$$(x + 3)(x + 1) = 0$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + 1x + 3x + 3 = x^2 + 4x + 3$$

Уравнение:

$$x^2 + 4x + 3 = 0$$

Решим по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}, \quad a = 1,\ b = 4,\ c = 3$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} \Rightarrow x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-4 — 2}{2} = -3$$

Корни: $x = -1$, $x = -3$ — целые, не натуральные.

$$x^2 + 5 = 5 \Rightarrow x^2 = 0$$

Формально это уравнение $x^2 + 5 = 5$, т.е.

$$x^2 + 5 = 5 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$

Корень: $x = 0$ — целый, не натуральный.

б) Имеют рациональные корни, но не имеют целых корней

Рациональные числа — числа вида $\frac{p}{q}$, где $p, q$ — целые, $q \ne 0$
Целые — подмножество рациональных

Ищем: корни – рациональные, не целые

Пример 1:

$$(3x + 1)(2x — 1) = 0$$

Раскроем:

$$3x \cdot 2x + 3x \cdot (-1) + 1 \cdot 2x + 1 \cdot (-1) = 6x^2 — 3x + 2x — 1 = 6x^2 — x — 1$$

Уравнение:

$$6x^2 — x — 1 = 0$$

Решим по формуле:

$$a = 6,\ b = -1,\ c = -1$$ $$D = (-1)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$$ $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 \pm 5}{12}$$ $$x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2},\quad x_2 = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$$

Оба корня — рациональные, но не целые.

Пример 2:

$$x^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow x = \pm \frac{2}{3}$$

Преобразуем в уравнение с целыми коэффициентами:

$$9x^2 = 4 \Rightarrow 9x^2 — 4 = 0$$

Это квадратное уравнение:

$$a = 9,\ b = 0,\ c = -4$$

Дискриминант:

$$D = 0^2 — 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 0 + 144 = 144$$ $$x = \frac{0 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 9} = \frac{\pm 12}{18} = \pm \frac{2}{3}$$

Корни: рациональные, не целые.

Пример 3:

$$(9x — 1)^2 = 0 \Rightarrow 81x^2 — 18x + 1 = 0$$

Это полное квадратное уравнение:

$$a = 81,\ b = -18,\ c = 1$$

Решим:

$$D = (-18)^2 — 4 \cdot 81 \cdot 1 = 324 — 324 = 0$$ $$x = \frac{18}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9}$$

Корень один, кратный — $x = \frac{1}{9}$, рациональный, не целый.

в) Имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней

Действительные числа — все числа на числовой прямой
Рациональные — можно представить в виде $\frac{p}{q}$
Иррациональные — нельзя так представить

Пример 1:

$$x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$$

Корни — $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$ — иррациональные, но действительные

Преобразуем:

$$x^2 = 2 \Rightarrow x^2 — 1 = 1 \Rightarrow x^2 — 2 = 0$$

Финальное уравнение:

$$x^2 — 2 = 0$$

Корни:

$$x = \pm \sqrt{2}$$

Корни действительные, не рациональные

Пример 2:

$$(x — \sqrt{3})^2 = 0$$

Раскроем:

$$x^2 — 2x\sqrt{3} + 3 = 0$$

Уравнение:

$$x^2 — 2x\sqrt{3} + 3 = 0$$

Корень:

$$x = \sqrt{3}$$

Так как в уравнении присутствует иррациональный коэффициент, корень тоже иррационален

Корень действительный, не рациональный

Пример 3:

$$(x + \pi)(2x — \pi) = 0$$

Раскроем:

$$x \cdot 2x — x \cdot \pi + \pi \cdot 2x — \pi \cdot \pi = 2x^2 + \pi x — \pi^2$$

Уравнение:

$$2x^2 + \pi x — \pi^2 = 0$$

Так как $\pi$ — иррациональное, дискриминант и корни тоже будут иррациональные

Корни действительные, не рациональные

г) Не имеют действительных корней ($D < 0$)

Уравнение не имеет вещественных корней, если дискриминант $D < 0$

Пример 1:

$$x^2 + x + 5 = 0$$ $$a = 1,\ b = 1,\ c = 5$$ $$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 — 20 = -19 < 0$$

Нет действительных корней

Пример 2:

$$3x^2 — 4x + 2 = 0$$ $$a = 3,\ b = -4,\ c = 2$$ $$D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 — 24 = -8 < 0$$

Нет действительных корней

Пример 3:

$$x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4 \Rightarrow x = \pm \sqrt{-4}$$

Нет вещественного корня из отрицательного числа

Нет действительных корней