ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным i, и знаменателем, равным 1 — i.

a) Найдите третий член прогрессии.

б) Найдите девятый член прогрессии.

в) На каких местах в этой прогрессии расположены чисто ценимые числа?

г) На каких местах в этой прогрессии расположены действительные числа?

Дана геометрическая прогрессия:

$b_1 = i, \quad q = 1 — i;$

а) Найдем третий член прогрессии:

$$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = i \cdot (1 — i)^2;$$ $$b_3 = i(1 — 2i + i^2) = i(1 — 2i — 1) = i(-2i) = -2i^2 = 2;$$

Ответ: $2$.

б) Найдем девятый член прогрессии:

$$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1} = i \cdot (1 — i)^8;$$ $$b_9 = i(1 — 2i + i^2)^4 = i(1 — 2i — 1)^4 = i(-2i)^4 = i \cdot 16i^4;$$ $$b_9 = i \cdot 16 \cdot (i^2)^2 = 16i \cdot (-1)^2 = 16i;$$

Ответ: $16i$.

в) Места, на которых расположены чисто мнимые числа:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = i(1 — i)^{n-1} = i(1 — 2i + i^2)^{\frac{n-1}{2}};$$ $$b_n = i(1 — 2i — 1)^{\frac{n-1}{2}} = i(-2i)^{\frac{n-1}{2}} = \left((-2)^{\frac{n-1}{2}} \cdot i\right) \cdot i^{\frac{n-1}{2}};$$ $$i^{\frac{n-1}{2}} = \pm 1;$$ $$\frac{n-1}{2} = 2k;$$ $$n — 1 = 4k;$$ $$n = 4k + 1;$$

Ответ: $n = 4k + 1$, где $k \in \mathbb{Z}, k \geq 0$.

г) Места, на которых расположены действительные числа:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = i(1 — i)^{n-1} = i(1 — 2i + i^2)^{\frac{n-1}{2}};$$ $$b_n = i(1 — 2i — 1)^{\frac{n-1}{2}} = i(-2i)^{\frac{n-1}{2}} = (-2)^{\frac{n-1}{2}} \cdot \left(i \cdot i^{\frac{n-1}{2}}\right);$$ $$i \cdot i^{\frac{n-1}{2}} = \pm 1;$$ $$i^{\frac{n-1}{2}} = \pm \frac{1}{i} = \pm \frac{i}{i^2} = \pm i;$$ $$\frac{n-1}{2} = 2k + 1;$$ $$n — 1 = 4k + 2;$$ $$n = 4k + 3;$$

Ответ: $n = 4k + 3$, где $k \in \mathbb{Z}, k \geq 0$.

Дана геометрическая прогрессия с первым членом и знаменателем:

$$b_1 = i,\quad q = 1 — i$$

где $i^2 = -1$.

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n — 1}$$

а) Найдём третий член $b_3$:

Используем формулу:

$$b_3 = b_1 \cdot q^{3 — 1} = i \cdot (1 — i)^2$$

Раскроем квадрат:

$$(1 — i)^2 = 1 — 2i + i^2$$

Но $i^2 = -1$, значит:

$$= 1 — 2i — 1 = -2i$$

Подставим обратно:

$$b_3 = i \cdot (-2i) = -2i^2$$

Вновь подставим $i^2 = -1$:

$$-2i^2 = -2 \cdot (-1) = 2$$

Ответ для пункта а): $b_3 = 2$

б) Найдём девятый член $b_9$:

Используем ту же формулу:

$$b_9 = b_1 \cdot q^{9 — 1} = i \cdot (1 — i)^8$$

Заметим, что:

$$(1 — i)^2 = -2i$$

Тогда:

$$(1 — i)^8 = \left((1 — i)^2\right)^4 = (-2i)^4$$

Возведём $-2i$ в 4-ю степень подробно:

$$(-2i)^4 = (-2)^4 \cdot i^4 = 16 \cdot (i^2)^2$$

Поскольку $i^2 = -1$, то:

$$(i^2)^2 = (-1)^2 = 1$$

Получили:

$$(-2i)^4 = 16 \cdot 1 = 16$$

Вернёмся обратно:

$$b_9 = i \cdot 16 = 16i$$

Ответ для пункта б): $b_9 = 16i$

в) Найдём номера членов, являющихся чисто мнимыми числами:

Запишем общий член:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = i \cdot (1 — i)^{n-1}$$

Как выше заметили:

$$1 — i = (\sqrt{2})\left(\frac{1 — i}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} — i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\, e^{-i\frac{\pi}{4}}$$

Тогда:

$$(1 — i)^{n-1} = (\sqrt{2}\, e^{-i\frac{\pi}{4}})^{n-1} = (\sqrt{2})^{n-1} \cdot e^{-i\frac{\pi}{4}(n-1)}$$

Таким образом, общий член прогрессии можно представить в виде:

$$b_n = i \cdot (\sqrt{2})^{n-1} \cdot e^{-i\frac{\pi}{4}(n-1)}$$

Раскроем множитель $i = e^{i\frac{\pi}{2}}$:

$$b_n = (\sqrt{2})^{n-1} e^{i\frac{\pi}{2}} e^{-i\frac{\pi}{4}(n-1)} = (\sqrt{2})^{n-1} e^{i\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}(n-1)\right)}$$

Чтобы число было чисто мнимым, его аргумент должен быть равен $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$, т.е.:

$$\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}(n-1) = \frac{\pi}{2} + \pi m,\quad m\in\mathbb{Z}$$

Сократим на $\pi$:

$$\frac{1}{2}-\frac{(n-1)}{4} = \frac{1}{2}+m$$

Упростим:

$$-\frac{n-1}{4} = m \quad\Rightarrow\quad n — 1 = -4m$$

Положим $-m = k$, тогда получаем:

$$n — 1 = 4k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

Или:

$$n = 4k + 1,\quad k\in\mathbb{Z},\;k\geq0$$

Проверка: действительно, для $n=1,5,9,\dots$ мы получаем чисто мнимые числа:

• $b_1=i$, $b_5=4i$, $b_9=16i$ и т.д.

Ответ для пункта в): $n = 4k + 1$, $k\geq0$

г) Найдём номера членов, являющихся действительными числами:

Теперь число действительное, если аргумент равен $0$ или $\pi$:

$$\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}(n-1) = \pi m,\quad m\in\mathbb{Z}$$

Сократим на $\pi$:

$$\frac{1}{2}-\frac{(n-1)}{4} = m$$

Домножим на $4$:

$$2-(n-1)=4m \quad\Rightarrow\quad n-1=2-4m$$

Перепишем аккуратнее:

$$n=3-4m,\quad m\in\mathbb{Z}$$

Поменяем обозначения: пусть $k=-m$:

$$n=3+4k,\quad k\in\mathbb{Z},\;k\geq0$$

Проверка: при $n=3,7,11,\dots$ получаются действительные числа:

• $b_3=2$, $b_7=-8$, $b_{11}=32$ и т.д.

Ответ для пункта г): $n = 4k + 3$, $k\geq0$

Итоговые ответы:

а) $b_3=2$

б) $b_9=16i$

в) Чисто мнимые числа расположены на местах: $n=4k+1,\quad k\geq0$

г) Действительные числа расположены на местах: $n=4k+3,\quad k\geq0$