ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $i^2+i^{-2}$

б) $i^3+i^{-3}$

в) $i^3+i^{-5}$

г) $i^{-3}+i^5$

а) $i^2 + i^{-2} = -1 + \frac{1}{i^2} = -1 + \frac{1}{-1} = -1 — 1 = -2$;
Ответ: $-2$.

б) $i^3 + i^{-3} = i^2 \cdot i + \frac{1}{i^3} = -i + \frac{i^3}{i^6} = -i + \frac{i^2 \cdot i}{(i^2)^3} = -i + \frac{-i}{-1} = -i + i = 0$;
Ответ: $0$.

в) $i^3 + i^{-5} = i^2 \cdot i + \frac{1}{i^5} = -i + \frac{i^5}{i^{10}} = -i + \frac{(i^2)^2 \cdot i}{(i^2)^5} = -i + \frac{i}{-1} = -i — i = -2i$;
Ответ: $-2i$.

г) $i^{-3} + i^5 = \frac{1}{i^3} + \frac{1}{i^5} = \frac{i^3}{i^6} + \frac{i^5}{i^{10}} = \frac{i^2 \cdot i}{(i^2)^3} + \frac{(i^2)^2 \cdot i}{(i^2)^5} = \frac{-i}{-1} + \frac{i}{-1} = i — i = 0$;
Ответ: $0$.

а) $i^2 + i^{-2}$

Шаг 1. Напомним, что $i$ — мнимая единица, по определению:

$$i^2 = -1$$

Шаг 2. Найдём $i^{-2}$:

$$i^{-2} = \frac{1}{i^2}$$

Шаг 3. Подставим значение $i^2 = -1$ в дробь:

$$\frac{1}{i^2} = \frac{1}{-1} = -1$$

Шаг 4. Складываем:

$$i^2 + i^{-2} = -1 + (-1) = -2$$

Ответ: $-2$

б) $i^3 + i^{-3}$

Шаг 1. Вспомним:

• $i = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$

Шаг 2. Теперь найдём $i^{-3}$:

$$i^{-3} = \frac{1}{i^3} = \frac{1}{-i}$$

Шаг 3. Чтобы упростить дробь $\frac{1}{-i}$, домножим числитель и знаменатель на $i$:

$$\frac{1}{-i} = \frac{1 \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{i}{-i^2}$$

Шаг 4. Подставим $i^2 = -1$:

$$\frac{i}{-(-1)} = \frac{i}{1} = i$$

Шаг 5. Теперь складываем:

$$i^3 + i^{-3} = -i + i = 0$$

Ответ: $0$

в) $i^3 + i^{-5}$

Шаг 1. Найдём $i^3$:

$$i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$$

Шаг 2. Найдём $i^{-5}$:

$$i^{-5} = \frac{1}{i^5}$$

Шаг 3. Найдём $i^5$:

$$i^5 = i^4 \cdot i = (i^2)^2 \cdot i = (-1)^2 \cdot i = 1 \cdot i = i$$

Шаг 4. Тогда:

$$i^{-5} = \frac{1}{i}$$

Шаг 5. Упростим $\frac{1}{i}$:
Домножим числитель и знаменатель на $i$:

$$\frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$$

Шаг 6. Складываем:

$$i^3 + i^{-5} = -i + (-i) = -2i$$

Ответ: $-2i$

г) $i^{-3} + i^5$

Шаг 1. Запишем:

$$i^{-3} + i^5 = \frac{1}{i^3} + \frac{1}{i^5}$$

Шаг 2. $\frac{1}{i^3} = \frac{i^3}{i^6}$, и $\frac{1}{i^5} = \frac{i^5}{i^{10}}$

Шаг 3. Найдём:

• $i^3 = -i$
• $i^6 = (i^2)^3 = (-1)^3 = -1$
• $i^5 = i$
• $i^{10} = (i^2)^5 = (-1)^5 = -1$

Шаг 4. Подставим:

$$\frac{1}{i^3} = \frac{-i}{-1} = i, \quad \frac{1}{i^5} = \frac{i}{-1} = -i$$

Шаг 5. Складываем:

$$i^{-3} + i^5 = i + (-i) = 0$$

Ответ: $0$