ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти действительные числа $a$ и $b$, для которых верно равенство

$$\frac{z_1}{z_2} = a \frac{z_2}{z_1} + bz_2,$$

если:

а) $z_1 = i$, $z_2 = 2$;

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{i}{2} = 0 + 0{,}5i;$$ $$\frac{z_2}{z_1} = \frac{2}{i} = \frac{2i}{i^2} = \frac{2i}{-1} = -2i;$$ $$a \frac{z_2}{z_1} + bz_2 = -2ai + 2b = 2b — 2ai;$$ $$\begin{cases} 2b = 0 \\ -2a = 0{,}5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 0 \\ a = -0{,}25 \end{cases};$$

Ответ: $a = -0{,}25$; $b = 0$.

б) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 — i$;

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + i}{1 — i} = \frac{(1 + i)^2}{(1 — i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 — i^2} = \frac{1 + 2i — 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = 0 + i;$$ $$\frac{z_2}{z_1} = \frac{1 — i}{1 + i} = \frac{(1 — i)^2}{(1 + i)(1 — i)} = \frac{1 — 2i + i^2}{1 — i^2} = \frac{1 — 2i — 1}{1 + 1} = \frac{-2i}{2} = -i;$$ $$a \frac{z_2}{z_1} + bz_2 = -ai + b(1 — i) = -ai + b — bi = b + (-a — b)i;$$ $$\begin{cases} b = 0 \\ -a — b = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 0 \\ a = -1 \end{cases};$$

Ответ: $a = -1$; $b = 0$.

в) $z_1 = 1 + 2i$, $z_2 = 1 — 2i$;

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + 2i}{1 — 2i} = \frac{(1 + 2i)^2}{(1 — 2i)(1 + 2i)} = \frac{1 + 4i + 4i^2}{1 — 4i^2} = \frac{1 + 4i — 4}{1 + 4} = \frac{-3 + 4i}{5} = -0{,}6 + 0{,}8i;$$ $$\frac{z_2}{z_1} = \frac{1 — 2i}{1 + 2i} = \frac{(1 — 2i)^2}{(1 + 2i)(1 — 2i)} = \frac{1 — 4i + 4i^2}{1 — 4i^2} = \frac{1 — 4i — 4}{1 + 4} = \frac{-3 — 4i}{5} = -0{,}6 — 0{,}8i;$$ $$a \frac{z_2}{z_1} + bz_2 = a(-0{,}6 — 0{,}8i) + b(1 — 2i) = (b — 0{,}6a) + (-0{,}8a — 2b)i;$$ $$\begin{cases} b — 0{,}6a = -0{,}6 \\ -0{,}8a — 2b = 0{,}8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 0{,}6a — 0{,}6 \\ 2b + 0{,}8a = -0{,}8 \end{cases};$$ $$2(0{,}6a — 0{,}6) + 0{,}8a = -0{,}8;$$ $$1{,}2a — 1{,}2 + 0{,}8a = -0{,}8;$$ $$2a = 0{,}4;$$ $$a = 0{,}2;$$ $$b = 0{,}6 \cdot 0{,}2 — 0{,}6 = 0{,}12 — 0{,}6 = -0{,}48;$$

Ответ: $a = 0{,}2$; $b = -0{,}48$.

г) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 + 2i$;

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + i}{1 + 2i} = \frac{(1 + i)(1 — 2i)}{(1 + 2i)(1 — 2i)} = \frac{1 — 2i + i — 2i^2}{1 — 4i^2} = \frac{1 — i + 2}{1 + 4} = \frac{3 — i}{5} = 0{,}6 — 0{,}2i;$$ $$\frac{z_2}{z_1} = \frac{1 + 2i}{1 + i} = \frac{(1 + 2i)(1 — i)}{(1 + i)(1 — i)} = \frac{1 — i + 2i — 2i^2}{1 — i^2} = \frac{1 + i + 2}{1 + 1} = \frac{3 + i}{2} = 1{,}5 + 0{,}5i;$$ $$a \frac{z_2}{z_1} + bz_2 = a(1{,}5 + 0{,}5i) + b(1 + 2i) = (1{,}5a + b) + (0{,}5a + 2b)i;$$ $$\begin{cases} 1{,}5a + b = 0{,}6 \\ 0{,}5a + 2b = -0{,}2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 0{,}6 — 1{,}5a \\ 0{,}5a + 2b = -0{,}2 \end{cases};$$ $$0{,}5a + 2(0{,}6 — 1{,}5a) = -0{,}2;$$ $$0{,}5a + 1{,}2 — 3a = -0{,}2;$$ $$-2{,}5a = -1{,}4;$$ $$a = \frac{1{,}4}{2{,}5} = \frac{14}{25} = 0{,}56;$$ $$b = 0{,}6 — 1{,}5 \cdot 0{,}56 = 0{,}6 — 0{,}84 = -0{,}24;$$

Ответ: $a = 0{,}56$; $b = -0{,}24$.

Найти такие действительные числа $a$ и $b$, при которых выполняется равенство:

$$\frac{z_1}{z_2} = a \cdot \frac{z_2}{z_1} + b \cdot z_2,$$

при заданных комплексных числах $z_1$, $z_2$.

а) $z_1 = i$, $z_2 = 2$

Шаг 1. Найдём $\frac{z_1}{z_2}$:

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{i}{2} = \frac{0 + i}{2} = 0 + 0{,}5i$$

Шаг 2. Найдём $\frac{z_2}{z_1}$:

$$\frac{z_2}{z_1} = \frac{2}{i}$$

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю $i$ — это $-i$ или просто упростим:

$$\frac{2}{i} = \frac{2i}{i^2} = \frac{2i}{-1} = -2i$$

Шаг 3. Выразим правую часть равенства:

$$a \cdot \frac{z_2}{z_1} + b \cdot z_2 = a \cdot (-2i) + b \cdot 2 = -2ai + 2b$$

Это комплексное число:
действительная часть: $2b$
мнимая часть: $-2a$

Шаг 4. Приравниваем действительные и мнимые части с левой частью:

Левая часть: $\frac{i}{2} = 0 + 0{,}5i$
=> действительная часть: 0
мнимая часть: 0,5

$$\begin{cases} 2b = 0 \\ -2a = 0{,}5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 0 \\ a = -0{,}25 \end{cases}$$

Ответ а) $\boxed{a = -0{,}25;\quad b = 0}$

б) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 — i$

Шаг 1. Найдём $\frac{z_1}{z_2}$:

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + i}{1 — i}$$

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю $1 + i$:

$$\frac{1 + i}{1 — i} = \frac{(1 + i)^2}{(1 — i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1^2 — i^2} = \frac{1 + 2i — 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$$

Шаг 2. Найдём $\frac{z_2}{z_1}$:

$$\frac{z_2}{z_1} = \frac{1 — i}{1 + i} = \frac{(1 — i)^2}{(1 + i)(1 — i)} = \frac{1 — 2i + i^2}{1 — i^2} = \frac{1 — 2i — 1}{1 + 1} = \frac{-2i}{2} = -i$$

Шаг 3. Выразим правую часть:

$$a \cdot \frac{z_2}{z_1} + b \cdot z_2 = a(-i) + b(1 — i) = -ai + b — bi = b + (-a — b)i$$

Действительная часть: $b$
Мнимая часть: $-a — b$

Шаг 4. Приравняем к левой части:

Левая часть: $i = 0 + 1i$

$$\begin{cases} b = 0 \\ -a — b = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 0 \\ a = -1 \end{cases}$$

Ответ б) $\boxed{a = -1;\quad b = 0}$

в) $z_1 = 1 + 2i$, $z_2 = 1 — 2i$

Шаг 1. $\frac{z_1}{z_2}$:

$$\frac{1 + 2i}{1 — 2i} = \frac{(1 + 2i)^2}{(1 — 2i)(1 + 2i)} = \frac{1 + 4i + 4i^2}{1 — (2i)^2} = \frac{1 + 4i — 4}{1 + 4} = \frac{-3 + 4i}{5} = -0{,}6 + 0{,}8i$$

Шаг 2. $\frac{z_2}{z_1}$:

$$\frac{1 — 2i}{1 + 2i} = \frac{(1 — 2i)^2}{(1 + 2i)(1 — 2i)} = \frac{1 — 4i + 4i^2}{1 — (2i)^2} = \frac{1 — 4i — 4}{1 + 4} = \frac{-3 — 4i}{5} = -0{,}6 — 0{,}8i$$

Шаг 3. Выразим правую часть:

$$a(-0{,}6 — 0{,}8i) + b(1 — 2i) = (-0{,}6a + b) + (-0{,}8a — 2b)i$$

Шаг 4. Приравниваем:

Левая часть: $-0{,}6 + 0{,}8i$

$$\begin{cases} -0{,}6a + b = -0{,}6 \\ -0{,}8a — 2b = 0{,}8 \end{cases} \Rightarrow \text{Из первой: } b = 0{,}6a — 0{,}6$$

Подставим во второе:

$$-0{,}8a — 2(0{,}6a — 0{,}6) = 0{,}8 \Rightarrow -0{,}8a — 1{,}2a + 1{,}2 = 0{,}8 \Rightarrow -2a = -0{,}4 \Rightarrow a = 0{,}2$$ $$b = 0{,}6 \cdot 0{,}2 — 0{,}6 = 0{,}12 — 0{,}6 = -0{,}48$$

Ответ в) $\boxed{a = 0{,}2;\quad b = -0{,}48}$

г) $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 1 + 2i$

Шаг 1. $\frac{z_1}{z_2}$:

$$\frac{1 + i}{1 + 2i} = \frac{(1 + i)(1 — 2i)}{(1 + 2i)(1 — 2i)} = \frac{1 — 2i + i — 2i^2}{1 — (2i)^2} = \frac{1 — i + 2}{1 + 4} = \frac{3 — i}{5} = 0{,}6 — 0{,}2i$$

Шаг 2. $\frac{z_2}{z_1}$:

$$\frac{1 + 2i}{1 + i} = \frac{(1 + 2i)(1 — i)}{(1 + i)(1 — i)} = \frac{1 — i + 2i — 2i^2}{1 — i^2} = \frac{1 + i + 2}{1 + 1} = \frac{3 + i}{2} = 1{,}5 + 0{,}5i$$

Шаг 3. Выразим правую часть:

$$a(1{,}5 + 0{,}5i) + b(1 + 2i) = (1{,}5a + b) + (0{,}5a + 2b)i$$

Шаг 4. Приравниваем:

Левая часть: $0{,}6 — 0{,}2i$

$$\begin{cases} 1{,}5a + b = 0{,}6 \\ 0{,}5a + 2b = -0{,}2 \end{cases} \Rightarrow b = 0{,}6 — 1{,}5a$$

Подставим:

$$0{,}5a + 2(0{,}6 — 1{,}5a) = -0{,}2 \Rightarrow 0{,}5a + 1{,}2 — 3a = -0{,}2$$ $$-2{,}5a = -1{,}4 \Rightarrow a = \frac{14}{25} = 0{,}56$$ $$b = 0{,}6 — 1{,}5 \cdot 0{,}56 = 0{,}6 — 0{,}84 = -0{,}24$$

Ответ г) $\boxed{a = 0{,}56;\quad b = -0{,}24}$