ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти значение функции

$$w = \frac{z^2 + 1}{z — i},$$

если:

а) $z = 1 + i$;

б) $z = 1 — i$;

в) $z = 2i$;

г) $z = 2 + i$

Найти значение функции

$$w = \frac{z^2 + 1}{z — i},$$

если:

а) $z = 1 + i$;

$$w = \frac{(1 + i)^2 + 1}{(1 + i) — i} = \frac{1 + 2i + i^2 + 1}{1} = \frac{1 + 2i — 1 + 1}{1} = 2 + 2i — 1 = 1 + 2i;$$

Ответ: $1 + 2i$.

б) $z = 1 — i$;

$$w = \frac{(1 — i)^2 + 1}{(1 — i) — i} = \frac{1 — 2i + i^2 + 1}{1 — 2i} = \frac{1 — 2i — 1 + 1}{1 — 2i} = \frac{1 — 2i}{1 — 2i} = 1;$$

Ответ: $1$.

в) $z = 2i$;

$$w = \frac{(2i)^2 + 1}{2i — i} = \frac{4i^2 + 1}{i} = \frac{-4 + 1}{i} = \frac{-3}{i} = \frac{-3i}{i^2} = \frac{-3i}{-1} = 3i;$$

Ответ: $3i$.

г) $z = 2 + i$;

$$w = \frac{(2 + i)^2 + 1}{(2 + i) — i} = \frac{4 + 4i + i^2 + 1}{2} = \frac{4 + 4i — 1 + 1}{2} = \frac{5 + 4i — 1}{2} = \frac{4 + 4i}{2} = 2 + 2i;$$

Ответ: $2 + 2i$.

Найти значение функции

$$w = \frac{z^2 + 1}{z — i}$$

при различных значениях комплексного числа $z$.

а) $z = 1 + i$

Шаг 1: Найдём $z^2$

$$(1 + i)^2 = (1 + i)(1 + i) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot i + i \cdot 1 + i \cdot i = 1 + i + i + i^2$$ $$= 1 + 2i + i^2$$ $$i^2 = -1 \Rightarrow 1 + 2i — 1 = 2i$$ $$z^2 = 2i$$

Шаг 2: Вычисляем числитель

$$z^2 + 1 = 2i + 1 = 1 + 2i$$

Шаг 3: Вычисляем знаменатель

$$z — i = (1 + i) — i = 1$$

Шаг 4: Делим числитель на знаменатель

$$w = \frac{1 + 2i}{1} = 1 + 2i$$

Ответ а) $\boxed{1 + 2i}$

б) $z = 1 — i$

Шаг 1: Возведём $z$ в квадрат

$$(1 — i)^2 = (1 — i)(1 — i) = 1 \cdot 1 — 1 \cdot i — i \cdot 1 + i \cdot i = 1 — i — i + i^2$$ $$= 1 — 2i + i^2 = 1 — 2i — 1 = -2i$$

Шаг 2: Числитель

$$z^2 + 1 = -2i + 1 = 1 — 2i$$

Шаг 3: Знаменатель

$$z — i = (1 — i) — i = 1 — 2i$$

Шаг 4: Делим

$$w = \frac{1 — 2i}{1 — 2i} = 1$$

(так как любое ненулевое число, делённое само на себя, равно 1)

Ответ б) $\boxed{1}$

в) $z = 2i$

Шаг 1: $z^2$

$$(2i)^2 = 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4$$

Шаг 2: Числитель

$$z^2 + 1 = -4 + 1 = -3$$

Шаг 3: Знаменатель

$$z — i = 2i — i = i$$

Шаг 4: Делим $-3$ на $i$

$$\frac{-3}{i} = \frac{-3i}{i^2} = \frac{-3i}{-1} = 3i$$

(домножили числитель и знаменатель на $i$)

Ответ в) $\boxed{3i}$

г) $z = 2 + i$

Шаг 1: $z^2 = (2 + i)^2$

$$(2 + i)^2 = 2 \cdot 2 + 2 \cdot i + i \cdot 2 + i \cdot i = 4 + 2i + 2i + i^2 = 4 + 4i + i^2$$ $$i^2 = -1 \Rightarrow 4 + 4i — 1 = 3 + 4i$$

Шаг 2: Числитель

$$z^2 + 1 = (3 + 4i) + 1 = 4 + 4i$$

Шаг 3: Знаменатель

$$z — i = (2 + i) — i = 2$$

Шаг 4: Делим

$$w = \frac{4 + 4i}{2} = \frac{4}{2} + \frac{4i}{2} = 2 + 2i$$

Ответ г) $\boxed{2 + 2i}$