ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Для комплексного числа $z$ найдите сопряженное число $\overline{z}$ и вычислите произведение $z \overline{z}$ и частное $\frac{\overline{z}}{z}$.

а) $z = i$

б) $z = -i$

в) $z = 3 — 7i$

г) $z=-5-6i$

Для комплексного числа $z$ найти сопряженное число $\overline{z}$ и вычислить произведение $z \overline{z}$ и частное $\frac{\overline{z}}{z}$.

а) $z = i$

Сопряженное число:

$$\overline{z} = -i$$

Произведение $z \overline{z}$:

$$z \overline{z} = i \cdot (-i) = -i^2 = -(-1) = 1$$

Частное $\frac{\overline{z}}{z}$:

$$\frac{\overline{z}}{z} = \frac{-i}{i} = \frac{-i \cdot i}{i \cdot i} = \frac{-i^2}{i^2} = \frac{-(-1)}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$$

Ответ: $\overline{z} = -i$; $z \overline{z} = 1$; $\frac{\overline{z}}{z} = -1$.

б) $z = -i$

Сопряженное число:

$$\overline{z} = -(-i) = i$$

Произведение $z \overline{z}$:

$$z \overline{z} = (-i) \cdot i = -i^2 = -(-1) = 1$$

Частное $\frac{\overline{z}}{z}$:

$$\frac{\overline{z}}{z} = \frac{i}{-i} = \frac{i \cdot (-i)}{-i \cdot (-i)} = \frac{-i^2}{i^2} = \frac{-(-1)}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$$

Ответ: $\overline{z} = i$; $z \overline{z} = 1$; $\frac{\overline{z}}{z} = -1$.

в) $z = 3 — 7i$

Сопряженное число:

$$\overline{z} = 3 — (-7i) = 3 + 7i$$

Произведение $z \overline{z}$:

$$z \overline{z} = (3 — 7i)(3 + 7i) = 9 — 49i^2 = 9 + 49 = 58$$

Частное $\frac{\overline{z}}{z}$:

$$\frac{\overline{z}}{z} = \frac{3 + 7i}{3 — 7i}$$

Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя:

$$\frac{\overline{z}}{z} = \frac{(3 + 7i)^2}{(3 — 7i)(3 + 7i)} = \frac{9 + 42i + 49i^2}{9 — 49i^2} = \frac{9 + 42i — 49}{9 + 49} = \frac{-40 + 42i}{58} = \frac{-20 + 21i}{29}$$

Ответ: $\overline{z} = 3 + 7i$; $z \overline{z} = 58$; $\frac{\overline{z}}{z} = \frac{-20 + 21i}{29}$.

г) $z = -5 — 6i$

Сопряженное число:

$$\overline{z} = -5 — (-6i) = -5 + 6i$$

Произведение $z \overline{z}$:

$$z \overline{z} = (-5 — 6i)(-5 + 6i) = 25 — 36i^2 = 25 + 36 = 61$$

Частное $\frac{\overline{z}}{z}$:

$$\frac{\overline{z}}{z} = \frac{-5 + 6i}{-5 — 6i}$$

Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя:

$$\frac{\overline{z}}{z} = \frac{(-5 + 6i)^2}{(-5 — 6i)(-5 + 6i)} = \frac{25 — 60i + 36i^2}{25 — 36i^2} = \frac{25 — 60i — 36}{25 + 36} = \frac{-11 — 60i}{61}$$

Ответ: $\overline{z} = -5 + 6i$; $z \overline{z} = 61$; $\frac{\overline{z}}{z} = \frac{-11 — 60i}{61}$.

а) $z = i$

1. Сопряжённое число

По определению:
Сопряжённое к $z = a + bi$ есть $\overline{z} = a — bi$

Здесь:
$z = i = 0 + 1i$, значит $a = 0$, $b = 1$

$$\overline{z} = 0 — 1i = -i$$

2. Произведение $z \cdot \overline{z}$

$$z \cdot \overline{z} = i \cdot (-i) = -i^2$$ $$i^2 = -1 \quad \Rightarrow \quad -i^2 = -(-1) = 1$$

3. Частное $\dfrac{\overline{z}}{z}$

$$\frac{\overline{z}}{z} = \frac{-i}{i}$$

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю — $\overline{i} = -i$:

$$\frac{-i}{i} = \frac{-i \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{i^2}{-i^2} = \frac{-1}{1} = -1$$

Ответ:

• $\overline{z} = -i$
• $z \cdot \overline{z} = 1$
• $\dfrac{\overline{z}}{z} = -1$

б) $z = -i$

1. Сопряжённое число

$$z = -i = 0 — i \Rightarrow \overline{z} = 0 + i = i$$

2. Произведение $z \cdot \overline{z}$

$$(-i) \cdot i = -i^2 = -(-1) = 1$$

3. Частное $\dfrac{\overline{z}}{z}$

$$\frac{i}{-i} = \frac{i \cdot (-i)}{-i \cdot (-i)} = \frac{-i^2}{i^2} = \frac{-(-1)}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$$

Ответ:

• $\overline{z} = i$
• $z \cdot \overline{z} = 1$
• $\dfrac{\overline{z}}{z} = -1$

в) $z = 3 — 7i$

1. Сопряжённое число

$$z = 3 — 7i \Rightarrow \overline{z} = 3 + 7i$$

2. Произведение $z \cdot \overline{z}$

$$(3 — 7i)(3 + 7i) = 3^2 — (7i)^2 = 9 — 49i^2 = 9 + 49 = 58$$

3. Частное $\dfrac{\overline{z}}{z}$

$$\frac{3 + 7i}{3 — 7i}$$

Домножим на сопряжённое знаменателя $3 + 7i$:

$$\frac{3 + 7i}{3 — 7i} \cdot \frac{3 + 7i}{3 + 7i} = \frac{(3 + 7i)^2}{(3)^2 — (7i)^2}$$

Числитель:

$$(3 + 7i)^2 = 9 + 2 \cdot 3 \cdot 7i + 49i^2 = 9 + 42i — 49 = -40 + 42i$$

Знаменатель:

$$3^2 — (7i)^2 = 9 — (-49) = 58$$ $$\Rightarrow \frac{\overline{z}}{z} = \frac{-40 + 42i}{58} = \frac{-20 + 21i}{29}$$

Ответ:

• $\overline{z} = 3 + 7i$
• $z \cdot \overline{z} = 58$
• $\dfrac{\overline{z}}{z} = \dfrac{-20 + 21i}{29}$

г) $z = -5 — 6i$

1. Сопряжённое число

$$\overline{z} = -5 + 6i$$

2. Произведение $z \cdot \overline{z}$

$$(-5 — 6i)(-5 + 6i) = (-5)^2 — (6i)^2 = 25 — (-36) = 25 + 36 = 61$$

3. Частное $\dfrac{\overline{z}}{z}$

$$\frac{-5 + 6i}{-5 — 6i}$$

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя $-5 + 6i$:

$$\frac{(-5 + 6i)^2}{(-5)^2 — (6i)^2}$$

Числитель:

$$(-5 + 6i)^2 = 25 — 60i + 36i^2 = 25 — 60i — 36 = -11 — 60i$$

Знаменатель:

$$25 + 36 = 61$$ $$\Rightarrow \frac{\overline{z}}{z} = \frac{-11 — 60i}{61}$$

Ответ:

• $\overline{z} = -5 + 6i$
• $z \cdot \overline{z} = 61$
• $\dfrac{\overline{z}}{z} = \dfrac{-11 — 60i}{61}$