ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $z_1=1-i$ и $z_2=4+i$, найти:

а)

$$\frac{z_1}{\overline{z_2}}=\frac{1-i}{4-i}=\frac{(1-i)(4+i)}{(4-i)(4+i)}=\frac{4+i-4i-i^2}{16-i^2}=\frac{4-3i+1}{16+1}=\frac{5-3i}{17}$$

б)

$$\frac{z_1^2}{(z_2{)}^2}=\frac{(1-i{)}^2}{(4-i{)}^2}=\frac{1-2i+i^2}{16-8i+i^2}=\frac{1-2i-1}{16-8i-1}=\frac{-2i}{15-8i}=\frac{-2i(15+8i)}{(15-8i)(15+8i)}=$$

$$=\frac{-30i-16i^2}{225-64i^2}=\frac{16-30i}{225+64}=\frac{16-30i}{289}$$

в)

$$\frac{\overline{z_1}}{z_2}=\frac{1+i}{4+i}=\frac{(1+i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}=\frac{4-i+4i-i^2}{16-i^2}=\frac{4+3i+1}{16+1}=\frac{5+3i}{17}$$

г)

$$\frac{(\overline{z_1}{)}^2}{z_2}=\frac{(1+i{)}^2}{4+i}=\frac{1+2i+i^2}{4+i}=\frac{1+2i-1}{4+i}=\frac{2i}{4+i}=\frac{2i(4-i)}{(4+i)(4-i)}=$$

$$=\frac{8i-2i^2}{16-i^2}=\frac{8i+2}{16+1}=\frac{2+8i}{17}$$

Дано:
$z_1=1-i$,
$z_2=4+i$
(Также потребуются: $\overline{z_2}=4-i$, $\overline{z_1}=1+i$)

а) $\frac{z_1}{\overline{z_2}}$

Найти:

$$\frac{z_1}{\overline{z_2}}=\frac{1-i}{4-i}$$

Чтобы упростить дробь, домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю:

$$\frac{1-i}{4-i}\cdot \frac{4+i}{4+i}=\frac{(1-i)(4+i)}{(4-i)(4+i)}$$

Вычислим числитель:

$$(1-i)(4+i)=1\cdot 4+1\cdot i-i\cdot 4-i\cdot i=4+i-4i-i^2$$$$=(4-3i-i^2)$$

Поскольку $i^2=-1$, получаем:

$$4-3i-(-1)=4-3i+1=5-3i$$

Вычислим знаменатель:

$$(4-i)(4+i)=4^2-i^2=16-(-1)=16+1=17$$

Ответ:

$$\frac{z_1}{\overline{z_2}}=\frac{5-3i}{17}$$

б) $\frac{z_1^2}{z_2^2}$

Найти:

$$\frac{(1-i{)}^2}{(4-i{)}^2}$$

Сначала найдём числитель:

$$(1-i{)}^2=1^2-2i+i^2=1-2i-1=-2i$$

Теперь знаменатель:

$$(4-i{)}^2=4^2-2\cdot 4\cdot i+i^2=16-8i+(-1)=16-8i-1=15-8i$$

Получаем:

$$\frac{-2i}{15-8i}$$

Чтобы упростить, домножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю $15+8i$:

$$\frac{-2i(15+8i)}{(15-8i)(15+8i)}$$

Числитель:

$$-2i(15+8i)=-30i-16i^2=-30i-(-16)=-30i+16=16-30i$$

Знаменатель:

$$(15{)}^2-(8i{)}^2=225-(-64)=225+64=289$$

Ответ:

$$\frac{z_1^2}{z_2^2}=\frac{16-30i}{289}$$

в) $\frac{\overline{z_1}}{z_2}$

Найти:

$$\frac{1+i}{4+i}$$

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю:

$$\frac{1+i}{4+i}\cdot \frac{4-i}{4-i}=\frac{(1+i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}$$

Числитель:

$$(1+i)(4-i)=1\cdot 4-1\cdot i+i\cdot 4-i\cdot i=4-i+4i-i^2=4+3i+1=5+3i$$

Знаменатель:

$$(4+i)(4-i)=4^2-i^2=16-(-1)=17$$

Ответ:

$$\frac{\overline{z_1}}{z_2}=\frac{5+3i}{17}$$

г) $\frac{(\overline{z_1}{)}^2}{z_2}$

Найти:

$$\frac{(1+i{)}^2}{4+i}$$

Числитель:

$$(1+i{)}^2=1^2+2i+i^2=1+2i-1=2i$$

Итак:

$$\frac{2i}{4+i}$$

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю $4-i$:

$$\frac{2i(4-i)}{(4+i)(4-i)}$$

Числитель:

$$2i(4-i)=8i-2i^2=8i+2=2+8i$$

Знаменатель:

$$4^2-i^2=16-(-1)=17$$

Ответ:

$$\frac{(\overline{z_1}{)}^2}{z_2}=\frac{2+8i}{17}$$