ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $z_1=3+2i$ и $z_2=-2+3i$, найти:

а)

$$\frac{z_1-z_2}{\overline{z_1}}=\frac{(3+2i)-(-2+3i)}{3-2i}=\frac{5-i}{3-2i}=\frac{(5-i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}=$$$$=\frac{15+10i-3i-2i^2}{9-4i^2}=\frac{15+7i+2}{9+4}=\frac{17+7i}{13};$$

б)

$$\frac{(z_1+z_2{)}^2}{z_1-z_2}=\frac{{((3+2i)+(-2+3i))}^2}{(3-2i)-(-2-3i)}=\frac{(1+5i{)}^2}{5+i}=\frac{1+10i+25i^2}{5+i}=$$$$=\frac{-24+10i}{5+i}=\frac{(-24+10i)(5-i)}{(5+i)(5-i)}=\frac{-120+24i+50i-10i^2}{25-i^2}=$$$$=\frac{-120+74i+10}{25+1}=\frac{-110+74i}{26}=\frac{-55+37i}{13};$$

в)

$$\frac{z_2}{z_2+\overline{z_1}}=\frac{-2+3i}{(-2+3i)+(3-2i)}=\frac{-2+3i}{1+i}=\frac{(-2+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=$$$$=\frac{-2+2i+3i-3i^2}{1-i^2}=\frac{-2+5i+3}{1+1}=\frac{1+5i}{2};$$

г)

$$\frac{z_2-2\overline{z_1}}{(\overline{z_2}+z_1{)}^3}=\frac{(-2+3i)-2(3-2i)}{((-2-3i)+(3+2i){)}^3}=\frac{-8+7i}{(1-i{)}^3}=$$$$=\frac{-8+7i}{1-3i+3i^2-i^3}=\frac{-8+7i}{1-3i-3+i}=\frac{-8+7i}{-2-2i}=\frac{(-8+7i)(-2+2i)}{(-2-2i)(-2+2i)}=$$$$=\frac{16-16i-14i+14i^2}{4-4i^2}=\frac{16-30i-14}{4+4}=\frac{2-30i}{8}=\frac{1-15i}{4}$$

Нам даны два комплексных числа:

$$z_1=3+2i,z_2=-2+3i$$

а) Вычислить

$$\frac{z_1-z_2}{\overline{z_1}}$$

Шаг 1: Найдём разность $z_1-z_2$

$$z_1-z_2=(3+2i)-(-2+3i)=3+2i+2-3i=5-i$$

Шаг 2: Найдём сопряжённое число к $z_1$, то есть $\overline{z_1}$

$$\overline{z_1}=\overline{3+2i}=3-2i$$

Шаг 3: Делим $\frac{5-i}{3-2i}$, избавляясь от мнимой части в знаменателе

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю: $3+2i$

$$\frac{5-i}{3-2i}\cdot \frac{3+2i}{3+2i}=\frac{(5-i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}$$

Шаг 4: Раскроем скобки в числителе:

$$(5-i)(3+2i)=5\cdot 3+5\cdot 2i-i\cdot 3-i\cdot 2i=15+10i-3i-2i^2$$$$=15+7i-2(-1)=15+7i+2=17+7i$$

Шаг 5: Знаменатель – формула разности квадратов:

$$(3-2i)(3+2i)=3^2-(2i{)}^2=9-4i^2=9+4=13$$

Ответ:

$$\frac{17+7i}{13}$$

б) Вычислить

$$\frac{(z_1+z_2{)}^2}{z_1-z_2}$$

Шаг 1: Найдём $z_1+z_2$

$$z_1+z_2=(3+2i)+(-2+3i)=1+5i$$

Шаг 2: Возводим в квадрат:

$$(1+5i{)}^2=1^2+2\cdot 1\cdot 5i+(5i{)}^2=1+10i+25i^2=1+10i-25=-24+10i$$

Шаг 3: Найдём $z_1-z_2$, уже считали ранее:

$$z_1-z_2=5-i$$

Шаг 4: Делим $\frac{-24+10i}{5+i}$, умножив на сопряжённое к знаменателю $5-i$

$$\frac{-24+10i}{5+i}\cdot \frac{5-i}{5-i}=\frac{(-24+10i)(5-i)}{(5+i)(5-i)}$$

Шаг 5: Числитель:

$$(-24+10i)(5-i)=-120+24i+50i-10i^2=-120+74i+10=-110+74i$$

Шаг 6: Знаменатель:

$$(5+i)(5-i)=25-i^2=25+1=26$$

Ответ:

$$\frac{-110+74i}{26}=\frac{-55+37i}{13}$$

в) Вычислить

$$\frac{z_2}{z_2+\overline{z_1}}$$

Шаг 1: Уже знаем:

• $z_2=-2+3i$
• $\overline{z_1}=3-2i$

$$z_2+\overline{z_1}=(-2+3i)+(3-2i)=1+i$$

Шаг 2: Делим:

$$\frac{-2+3i}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{(-2+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$$

Числитель:

$$(-2)(1)+(-2)(-i)+(3i)(1)+(3i)(-i)=-2+2i+3i-3i^2=$$

$$=-2+5i+3=1+5i$$

Знаменатель:

$$(1+i)(1-i)=1-i^2=1+1=2$$

Ответ:

$$\frac{1+5i}{2}$$

г) Вычислить

$$\frac{z_2-2\overline{z_1}}{(\overline{z_2}+z_1{)}^3}$$

Шаг 1: Найдём сопряжённое к $z_2$:

$$\overline{z_2}=\overline{-2+3i}=-2-3i$$

Шаг 2: Числитель:

$$z_2-2\overline{z_1}=(-2+3i)-2(3-2i)=-2+3i-6+4i=-8+7i$$

Шаг 3: Знаменатель:

$$\overline{z_2}+z_1=(-2-3i)+(3+2i)=1-i$$

Теперь найдём куб:

$$(1-i{)}^3=(1-i)(1-i)(1-i)$$

Сначала квадрат:

$$(1-i{)}^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i$$

Теперь умножим:

$$(1-i{)}^3=(-2i)(1-i)=-2i+2i^2=-2i-2=-2-2i$$

Шаг 4: Делим:

$$\frac{-8+7i}{-2-2i}\cdot \frac{-2+2i}{-2+2i}$$

Числитель:

$$(-8+7i)(-2+2i)=16-16i-14i+14i^2=16-30i-14=2-30i$$

Знаменатель:

$$(-2-2i)(-2+2i)=4-4i^2=4+4=8$$

Ответ:

$$\frac{2-30i}{8}=\frac{1-15i}{4}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{{\displaystyle \frac{17+7i}{13}}}$

б) $\boxed{{\displaystyle \frac{-55+37i}{13}}}$

в) $\boxed{{\displaystyle \frac{1+5i}{2}}}$

г) $\boxed{{\displaystyle \frac{1-15i}{4}}}$