ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Среди корней уравнения $z^2 + (\overline{z})^2 = 8$, указать все корни:

а) С нулевой мнимой частью:

$z = a + bi = a;$
$a^2 + a^2 = 8;$
$2a^2 = 8;$
$a^2 = 4;$
$z = a = \pm 2;$
Ответ: $\pm 2$.

б) С мнимой частью, равной единице:

$z = a + bi = a + i;$
$(a + i)^2 + (a — i)^2 = 8;$
$(a^2 + 2ai + i^2) + (a^2 — 2ai + i^2) = 8;$
$2a^2 + 2i^2 = 8;$
$a^2 + i^2 = 4;$
$a^2 — 1 = 4;$
$a^2 = 5;$
$a = \pm \sqrt{5};$
$z = \pm \sqrt{5} + i;$
Ответ: $\pm \sqrt{5} + i$.

в) У которых действительная и мнимая части равны:

$z = a + bi = a + ai;$
$(a + ai)^2 + (a — ai)^2 = 8;$
$(a^2 + 2a^2i + a^2i^2) + (a^2 — 2a^2i + a^2i^2) = 8;$
$2a^2 + 2a^2i^2 = 8;$
$a^2 + a^2i^2 = 4;$
$a^2 — a^2 = 4;$
$0a^2 = 4;$
Ответ: корней нет.

г) У которых действительная часть в три раза больше мнимой:

$z = a + bi = 3b + bi;$
$(3b + bi)^2 + (3b — bi)^2 = 8;$
$(9b^2 + 6b^2i + b^2i^2) + (9b^2 — 6b^2i + b^2i^2) = 8;$
$18b^2 + 2b^2i^2 = 8;$
$9b^2 + b^2i^2 = 4;$
$9b^2 — b^2 = 4;$
$8b^2 = 4;$
$b^2 = 0,5;$
$b = \frac{1}{\sqrt{2}};$
$z = \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} = \frac{3 + i}{\sqrt{2}};$
Ответ: $\frac{3 + i}{\sqrt{2}}$.

Требуется найти все корни уравнения

$$z^2 + (\overline{z})^2 = 8$$

в различных частных случаях.

Общие обозначения

Пусть $z = a + bi$, где

• $a \in \mathbb{R}$ — действительная часть числа $z$,
• $b \in \mathbb{R}$ — мнимая часть числа $z$,
• $\overline{z} = a — bi$ — комплексно-сопряжённое число.

а) Корни с нулевой мнимой частью

Ищем такие $z$, у которых мнимая часть равна нулю:

$$z = a + 0i = a$$

Так как $z$ — вещественное число, то $\overline{z} = z$.
Уравнение принимает вид:

$$z^2 + (\overline{z})^2 = z^2 + z^2 = 2z^2 = 8$$

Решаем:

$$2z^2 = 8 \\ z^2 = 4 \\ z = \pm 2$$

Ответ: $\boxed{z = \pm 2}$

б) Корни с мнимой частью, равной единице

Ищем такие $z$, что:

$$\operatorname{Im}(z) = 1 \Rightarrow z = a + i$$

Найдём $z^2$ и $\overline{z}^2$:

$$z = a + i,\quad \overline{z} = a — i$$

Сначала возведём $z$ в квадрат:

$$(a + i)^2 = a^2 + 2ai + i^2 = a^2 + 2ai — 1$$

Теперь $\overline{z}^2$:

$$(a — i)^2 = a^2 — 2ai + i^2 = a^2 — 2ai — 1$$

Теперь сложим:

$$z^2 + \overline{z}^2 = (a^2 + 2ai — 1) + (a^2 — 2ai — 1) = 2a^2 — 2$$

Сравниваем с правой частью уравнения:

$$2a^2 — 2 = 8 \Rightarrow 2a^2 = 10 \Rightarrow a^2 = 5 \Rightarrow a = \pm \sqrt{5}$$

Таким образом:

$$z = \pm \sqrt{5} + i$$

Ответ: $\boxed{z = \pm \sqrt{5} + i}$

в) Корни, у которых действительная и мнимая части равны

Пусть $z = a + ai = a(1 + i)$

Тогда $\overline{z} = a — ai = a(1 — i)$

Возведём в квадрат:

• $z^2 = (a + ai)^2 = a^2 + 2a^2i + a^2i^2 = a^2 + 2a^2i — a^2 = 2a^2i$
• $\overline{z}^2 = (a — ai)^2 = a^2 — 2a^2i + a^2i^2 = a^2 — 2a^2i — a^2 = -2a^2i$

Теперь:

$$z^2 + \overline{z}^2 = 2a^2i — 2a^2i = 0$$

А в условии уравнение:

$$z^2 + \overline{z}^2 = 8$$

Получаем противоречие:

$$0 = 8 \Rightarrow \text{Решений нет}$$

Ответ: $\boxed{\text{корней нет}}$

г) Корни, у которых действительная часть в три раза больше мнимой

Пусть мнимая часть равна $b$, тогда:

$$\operatorname{Re}(z) = 3b,\quad z = 3b + bi$$

Сопряжённое:

$$\overline{z} = 3b — bi$$

Вычислим $z^2$ и $\overline{z}^2$:

1. $z^2 = (3b + bi)^2 = 9b^2 + 6b^2i + b^2i^2 = 9b^2 + 6b^2i — b^2 = (8b^2 + 6b^2i)$
2. $\overline{z}^2 = (3b — bi)^2 = 9b^2 — 6b^2i + b^2i^2 = 9b^2 — 6b^2i — b^2 = (8b^2 — 6b^2i)$

Теперь:

$$z^2 + \overline{z}^2 = (8b^2 + 6b^2i) + (8b^2 — 6b^2i) = 16b^2$$

Сравним с уравнением:

$$16b^2 = 8 \Rightarrow b^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Теперь найдём соответствующие $z$:

При $b = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow z = 3b + bi = \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} = \frac{3 + i}{\sqrt{2}}$

Ответ:

$$\boxed{z = \frac{3 + i}{\sqrt{2}} \quad \text{и} \quad z = \frac{-3 — i}{\sqrt{2}}}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{z = \pm 2}$

б) $\boxed{z = \pm \sqrt{5} + i}$

в) $\boxed{\text{корней нет}}$

г) $\boxed{z = \frac{3 + i}{\sqrt{2}},\ \frac{-3 — i}{\sqrt{2}}}$