ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дано уравнение:

$$\overline{z} + 1 = \frac{1}{z + 1};$$ $$(\overline{z} + 1)(z + 1) = 1;$$ $$\overline{z}z + \overline{z} + z + 1 = 1;$$ $$\overline{z}z + \overline{z} + z = 0;$$ $$(x — yi)(x + yi) + (x — yi) + (x + yi) = 0;$$ $$x^2 — y^2i + x — yi + x + yi = 0;$$ $$x^2 + y^2 + 2x = 0;$$ $$x^2 + 2x + 1 + y^2 — 1 = 0;$$ $$(x + 1)^2 + y^2 = 1;$$

Множество решений на координатной плоскости:

$$x_0=-1,y_0=0,R=1;$$

$$x_0 = -1, \; y_0 = 0, \; R = 1;$$

а) Корень, у которого действительная часть наименьшая:

$$x = -2, \; y = 0;$$

Ответ: $z = -2$.

б) Корень, у которого мнимая часть наименьшая:

$$x = -1, \; y = -1;$$

Ответ: $z = -1 — i$.

в) Корень, который ближе всего расположен к началу координат:

$$x = 0, \; y = 0;$$

Ответ: $0$.

г) Корень, который ближе всего расположен к числу $i$:

$$a = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4};$$ $$x = \cos \frac{\pi}{4} — 1 = \frac{1}{\sqrt{2}} — 1 = \frac{1 — \sqrt{2}}{\sqrt{2}};$$ $$y = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}};$$

Ответ: $z = \frac{1 — \sqrt{2} + i}{\sqrt{2}}$.

Шаг 1. Исходное уравнение

$$\overline{z} + 1 = \frac{1}{z + 1}$$

Шаг 2. Представление $z$ в виде $z = x + iy$

Пусть:

$$z = x + iy, \quad \overline{z} = x — iy, \quad x, y \in \mathbb{R}$$

Подставим в уравнение:

$$(x — iy) + 1 = \frac{1}{(x + iy) + 1} = \frac{1}{x + 1 + iy}$$

Шаг 3. Избавление от дроби

Перепишем:

$$\overline{z} + 1 = \frac{1}{z + 1} \quad \Rightarrow \quad (\overline{z} + 1)(z + 1) = 1$$

Это избавляет нас от дроби.

Шаг 4. Раскрытие скобок

$$(\overline{z} + 1)(z + 1) = \overline{z}z + \overline{z} + z + 1$$

Подставляем:

$$\overline{z}z + \overline{z} + z + 1 = 1$$

Шаг 5. Упрощение

$$\overline{z}z + \overline{z} + z + 1 = 1 \Rightarrow \overline{z}z + \overline{z} + z = 0$$

Шаг 6. Подстановка $z = x + iy$, $\overline{z} = x — iy$

Рассчитаем каждый член:

• $\overline{z}z = (x — iy)(x + iy) = x^2 + y^2$
• $\overline{z} + z = (x — iy) + (x + iy) = 2x$

Подставляем:

$$x^2 + y^2 + 2x = 0$$

Шаг 7. Преобразование уравнения

$$x^2 + 2x + y^2 = 0$$

Добавим и вычтем 1:

$$x^2 + 2x + 1 + y^2 — 1 = 0 \Rightarrow (x + 1)^2 + y^2 = 1$$

Шаг 8. Геометрическая интерпретация

Это уравнение окружности с центром в точке $(-1, 0)$ и радиусом $R = 1$:

$$(x + 1)^2 + y^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad (x — (-1))^2 + (y — 0)^2 = 1^2$$

Ответы на вопросы

а) Корень, у которого действительная часть наименьшая

Цель — найти $z = x + iy$, где $x$ минимально.

Поскольку центр окружности в точке $(-1, 0)$, а радиус — 1, то наименьшее значение $x$ будет:

$$x_{\min} = -1 — 1 = -2,\quad y = 0$$

Проверка:

$$(x + 1)^2 + y^2 = (-2 + 1)^2 + 0^2 = (-1)^2 + 0 = 1$$

То есть точка лежит на окружности.

Ответ:

$$z = -2$$

б) Корень, у которого мнимая часть наименьшая

Теперь минимизируем $y$.

Так как окружность имеет центр $y = 0$ и радиус 1, минимальная мнимая часть:

$$y_{\min} = -1, \quad x = -1$$

Проверка:

$$(-1 + 1)^2 + (-1)^2 = 0 + 1 = 1$$

Точка лежит на окружности.

Ответ:

$$z = -1 — i$$

в) Корень, который ближе всего расположен к началу координат

Ищем точку на окружности, ближайшую к $0 + 0i$. Это эквивалентно минимизации расстояния:

$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Окружность: $(x + 1)^2 + y^2 = 1$

Подставим $x = 0, y = 0$:

$$(0 + 1)^2 + 0^2 = 1 \Rightarrow 1 + 0 = 1$$

Точка принадлежит окружности.

Рассчитаем расстояние:

$$|z| = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0 \Rightarrow z = 0$$

Ответ:

$$z = 0$$

г) Корень, который ближе всего расположен к числу $i$

Точка $i$ на комплексной плоскости — это $(0, 1)$

Ищем точку на окружности, ближайшую к $(0, 1)$.

Метод: Минимизировать расстояние между точками окружности и точкой $(0,1)$:

Используем параметрическое уравнение окружности:

$$x = -1 + \cos\theta,\quad y = \sin\theta$$

Расстояние от $z = x + iy$ до $i$ равно:

$$|z — i| = \sqrt{x^2 + (y — 1)^2}$$

Подставим параметры:

• $x = -1 + \cos\theta$
• $y = \sin\theta$

$$|z — i|^2 = (-1 + \cos\theta)^2 + (\sin\theta — 1)^2$$

Минимизируем. Наиболее близкое направление — прямая от центра окружности к $i = (0,1)$

Вектор от центра $(-1, 0)$ к $(0, 1)$:

$$\vec{v} = (1, 1),\quad |\vec{v}| = \sqrt{2} \Rightarrow \text{единичный вектор: } \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

Координаты ближайшей точки:

$$x = -1 + \frac{1}{\sqrt{2}},\quad y = 0 + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Или:

$$x = \frac{1 — \sqrt{2}}{\sqrt{2}},\quad y = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Ответ:

$$z = \frac{1 — \sqrt{2} + i}{\sqrt{2}}$$

Итоговые ответы:

а)

$$\boxed{z = -2}$$

б)

$$\boxed{z = -1 — i}$$

в)

$$\boxed{z = 0}$$

г)

$$\boxed{z = \frac{1 — \sqrt{2} + i}{\sqrt{2}}}$$