ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Укажите хотя бы одно значение параметра а, при котором у уравнения 3x² + ах + 6 = 0:

a) оба корня целые, но не натуральные числа;

б) оба корня рациональные, но только один из них — целое число;

в) оба корня действительные, но не рациональные числа

г) укажите все значения а, при которых действительных корней нет.

Указать хотя бы одно значение параметра $a$, при котором у уравнения

$$3x^2 + ax + 6 = 0;$$ $$D = a^2 — 4 \cdot 3 \cdot 6 = a^2 — 72,$$

тогда:

$$x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 — 72}}{2 \cdot 3} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 — 72}}{6};$$

а) Оба корня целые, но не натуральные числа:

$$\sqrt{a^2 — 72} = 3;$$ $$a^2 — 72 = 9;$$ $$a^2 = 81;$$ $$a = 9;$$

б) Оба корня рациональные, но только один из них — целое число:

$$\sqrt{a^2 — 72} = 7;$$ $$a^2 — 72 = 49;$$ $$a^2 = 121;$$ $$a = -11;$$

в) Оба корня действительные, но не рациональные числа:

$$\sqrt{a^2 — 72} = \sqrt{28};$$ $$a^2 — 72 = 28;$$ $$a^2 = 100;$$ $$a = 10;$$

г) Указать все значения $a$, при которых действительных корней нет:

$$D = a^2 — 4 \cdot 3 \cdot 6 = a^2 — 72;$$ $$a^2 — 72 < 0;$$ $$a^2 — 36 \cdot 2 < 0;$$ $$(a + 6\sqrt{2})(a — 6\sqrt{2}) < 0;$$ $$-6\sqrt{2} < a < 6\sqrt{2};$$

Указать хотя бы одно значение параметра $a$, при котором у уравнения

$$3x^2 + ax + 6 = 0$$

выполняются различные условия для корней.

1. Общая форма квадратного уравнения

Общий вид квадратного уравнения:

$$Ax^2 + Bx + C = 0$$

В данном случае:

• $A = 3$
• $B = a$ — параметр
• $C = 6$

2. Дискриминант уравнения

Формула дискриминанта:

$$D = B^2 — 4AC$$

Подставим:

$$D = a^2 — 4 \cdot 3 \cdot 6 = a^2 — 72$$

3. Формула корней квадратного уравнения

$$x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} \Rightarrow x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 — 72}}{6}$$

Чтобы понять, какими будут корни, проанализируем подкоренное выражение $\sqrt{a^2 — 72}$ — оно определяет, являются ли корни действительными, рациональными, целыми и т.д.

а) Оба корня — целые, но не натуральные числа

Натуральные числа — это $1, 2, 3, \ldots$

Целые, но не натуральные — это 0 или отрицательные целые (например, $-1, -2$, и т.д.)

Пусть подкоренное выражение равно 3:

$$\sqrt{a^2 — 72} = 3 \Rightarrow a^2 — 72 = 9 \Rightarrow a^2 = 81 \Rightarrow a = \pm 9$$

Выберем $a = 9$

Подставим в формулу корней:

$$x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 — 72}}{6} = \frac{-9 \pm \sqrt{9}}{6} = \frac{-9 \pm 3}{6}$$

Находим оба корня:

• $x_1 = \frac{-9 + 3}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
• $x_2 = \frac{-9 — 3}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Оба корня:

• Целые
• Не натуральные (так как оба отрицательные)

Ответ пункта а:

$$\boxed{a = 9}$$

б) Оба корня рациональные, но только один из них — целое число

Корни рациональны, если подкоренное выражение $\sqrt{a^2 — 72}$ — рациональное число.

Пусть:

$$\sqrt{a^2 — 72} = 7 \Rightarrow a^2 — 72 = 49 \Rightarrow a^2 = 121 \Rightarrow a = \pm 11$$

Возьмём $a = -11$

Подставим:

$$x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{121 — 72}}{6} = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{11 \pm 7}{6}$$

Вычислим:

• $x_1 = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3$ (целое)
• $x_2 = \frac{11 — 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ (рациональное, но не целое)

Один корень — целое, второй — рациональное, не целое.

Ответ пункта б:

$$\boxed{a = -11}$$

в) Оба корня действительные, но не рациональные числа

Корни будут действительными, но не рациональными, если подкоренное выражение — иррациональное число (например, $\sqrt{28}$).

Пусть:

$$\sqrt{a^2 — 72} = \sqrt{28} \Rightarrow a^2 — 72 = 28 \Rightarrow a^2 = 100 \Rightarrow a = \pm 10$$

Выберем $a = 10$

Подставим:

$$x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 — 72}}{6} = \frac{-10 \pm \sqrt{28}}{6}$$

Корни:

• $\frac{-10 \pm \sqrt{28}}{6}$
• Иррациональные (так как $\sqrt{28} \notin \mathbb{Q}$)

Ответ пункта в:

$$\boxed{a = 10}$$

г) Указать все значения $a$, при которых действительных корней нет

Корней нет, если дискриминант меньше нуля:

$$D = a^2 — 72 < 0 \Rightarrow a^2 < 72$$

Теперь найдём численно:

$$a^2 < 72 \Rightarrow |a| < \sqrt{72} \Rightarrow |a| < 6\sqrt{2} \Rightarrow -6\sqrt{2} < a < 6\sqrt{2}$$

То есть:

• Если $a$ лежит в интервале $(-6\sqrt{2},\ 6\sqrt{2})$, то $D < 0$
• Корней уравнение не имеет

Ответ пункта г:

$$\boxed{-6\sqrt{2} < a < 6\sqrt{2}}$$