ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $i^3$

б) $i^5$

в) $i^{22}$

г) $i^{17}+i^{2005}$

а) $i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i$;

Ответ: $-i$.

б) $i^5=i^4\cdot i=(i^2{)}^2\cdot i=(-1{)}^2\cdot i=i$;

Ответ: $i$.

в) $i^{22}=(i^2{)}^{11}=(-1{)}^{11}=-1$;

Ответ: $-1$.

г) $i^{17}+i^{2005}=i^{16}\cdot i+i^{2004}\cdot i=((i^2{)}^8+(i^2{)}^{1002})\cdot i=((-1{)}^8+(-1{)}^{1002})\cdot i=$

$=(1+1)\cdot i=2i$;

Ответ: $2i$.

а) $i^3$

Шаг 1. Напомним определение:
$i$ — это мнимая единица, такая что

$$i^2=-1$$

Шаг 2. Распишем $i^3$ как произведение:

$$i^3=i^2\cdot i$$

Шаг 3. Подставим значение $i^2=-1$:

$$i^3=(-1)\cdot i$$

Шаг 4. Упростим выражение:

$$i^3=-i$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -i}}$

б) $i^5$

Шаг 1. Представим $i^5$ через $i^4\cdot i$:

$$i^5=i^4\cdot i$$

Шаг 2. Заметим, что $i^4=(i^2{)}^2$. Поскольку $i^2=-1$, то:

$$i^4=(-1{)}^2=1$$

Шаг 3. Подставим это в выражение:

$$i^5=1\cdot i$$

Шаг 4. Упростим:

$$i^5=i$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle i}}$

в) $i^{22}$

Шаг 1. Представим степень через $i^2$:

$$i^{22}=(i^2{)}^{11}$$

Шаг 2. Подставим значение $i^2=-1$:

$$(i^2{)}^{11}=(-1{)}^{11}$$

Шаг 3. Степень нечетная (11), значит:

$$(-1{)}^{11}=-1$$

Шаг 4. Следовательно:

$$i^{22}=-1$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -1}}$

г) $i^{17}+i^{2005}$

Часть 1: Распишем $i^{17}$

Шаг 1. Представим как $i^{16}\cdot i$:

$$i^{17}=i^{16}\cdot i$$

Шаг 2. $i^{16}=(i^2{)}^8=(-1{)}^8=1$

$$i^{17}=1\cdot i=i$$

Часть 2: Распишем $i^{2005}$

Шаг 1. Представим как $i^{2004}\cdot i$:

$$i^{2005}=i^{2004}\cdot i$$

Шаг 2. $i^{2004}=(i^2{)}^{1002}=(-1{)}^{1002}$

Шаг 3. $1002$ — чётное, значит:

$$(-1{)}^{1002}=1$$

Шаг 4. Тогда:

$$i^{2005}=1\cdot i=i$$

Часть 3: Складываем оба результата

$$i^{17}+i^{2005}=i+i=2i$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 2i}}$