ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти значение многочлена $z^3 + 3z$ при заданном значении переменной $z$:

а) $z = -i$;

$$z^3 = (-i)^3 = (-i)^2 \cdot (-i) = i^2 \cdot (-i) = -1 \cdot (-i) = i;$$ $$z^3 + 3z = i + 3 \cdot (-i) = -2i;$$

Ответ: $-2i$.

б) $z = \sqrt{2}i$;

$$z^3 = (\sqrt{2}i)^3 = i \sqrt{8} \cdot i^2 = 2i \sqrt{2} \cdot (-1) = -2i \sqrt{2};$$ $$z^3 + 3z = -2i \sqrt{2} + 3i \sqrt{2} = i \sqrt{2};$$

Ответ: $i \sqrt{2}$.

в) $z = -3i$;

$$z^3 = (-3i)^3 = -27i \cdot i^2 = -27i \cdot (-1) = 27i;$$ $$z^3 + 3z = 27i + 3 \cdot (-3i) = 27i — 9i = 18i;$$

Ответ: $18i$.

г) $z = -\sqrt{3}i$;

$$z^3 = \left( -\sqrt{3}i \right)^3 = -i \sqrt{27} \cdot i^2 = -3i \sqrt{3} \cdot (-1) = 3i \sqrt{3};$$ $$z^3 + 3z = 3i \sqrt{3} + 3 \cdot \left( -\sqrt{3}i \right) = 3i \sqrt{3} — 3i \sqrt{3} = 0;$$

Ответ: $0$.

Найти значение многочлена:

$$z^3 + 3z$$

при различных значениях комплексной переменной $z$, где $z$ — мнимое или иррационально-мнимое число.

а) $z = -i$

Шаг 1. Подставим $z$ в выражение:

$$z^3 + 3z = (-i)^3 + 3 \cdot (-i)$$

Шаг 2. Найдём $(-i)^3$:

$$(-i)^3 = (-i)^2 \cdot (-i)$$

Шаг 3. Сначала найдём $(-i)^2$:

$$(-i)^2 = (-1)^2 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$$

Шаг 4. Теперь:

$$(-i)^3 = (-1) \cdot (-i) = i$$

Шаг 5. Теперь вычислим полный многочлен:

$$z^3 + 3z = i + 3 \cdot (-i) = i — 3i = -2i$$

Ответ: $\boxed{-2i}$

б) $z = \sqrt{2}i$

Шаг 1. Подставим в выражение:

$$z^3 + 3z = (\sqrt{2}i)^3 + 3 \cdot \sqrt{2}i$$

Шаг 2. Вычислим $(\sqrt{2}i)^3$:

$$(\sqrt{2}i)^3 = (\sqrt{2}i)^2 \cdot (\sqrt{2}i)$$

Шаг 3. Сначала $(\sqrt{2}i)^2$:

$$(\sqrt{2}i)^2 = (\sqrt{2})^2 \cdot i^2 = 2 \cdot (-1) = -2$$

Шаг 4. Теперь:

$$(\sqrt{2}i)^3 = (-2) \cdot \sqrt{2}i = -2\sqrt{2}i$$

Шаг 5. Вычислим:

$$z^3 + 3z = -2\sqrt{2}i + 3\sqrt{2}i = ( -2 + 3 ) \cdot \sqrt{2}i = \sqrt{2}i$$

Ответ: $\boxed{i \sqrt{2}}$

в) $z = -3i$

Шаг 1. Подставим:

$$z^3 + 3z = (-3i)^3 + 3 \cdot (-3i)$$

Шаг 2. Найдём $(-3i)^3$:

$$(-3i)^3 = (-3i)^2 \cdot (-3i)$$

Шаг 3. Вычислим $(-3i)^2$:

$$(-3i)^2 = 9 \cdot i^2 = 9 \cdot (-1) = -9$$

Шаг 4. Тогда:

$$(-3i)^3 = (-9) \cdot (-3i) = 27i$$

Шаг 5. Полный многочлен:

$$z^3 + 3z = 27i + 3 \cdot (-3i) = 27i — 9i = 18i$$

Ответ: $\boxed{18i}$

г) $z = -\sqrt{3}i$

Шаг 1. Подставим:

$$z^3 + 3z = (-\sqrt{3}i)^3 + 3 \cdot (-\sqrt{3}i)$$

Шаг 2. Найдём $(-\sqrt{3}i)^3$:

$$(-\sqrt{3}i)^3 = (-\sqrt{3}i)^2 \cdot (-\sqrt{3}i)$$

Шаг 3. Вычислим $(-\sqrt{3}i)^2$:

$$(-\sqrt{3}i)^2 = (\sqrt{3})^2 \cdot i^2 = 3 \cdot (-1) = -3$$

Шаг 4. Теперь:

$$(-\sqrt{3}i)^3 = (-3) \cdot (-\sqrt{3}i) = 3\sqrt{3}i$$

Шаг 5. Вычислим:

$$z^3 + 3z = 3\sqrt{3}i + 3 \cdot (-\sqrt{3}i) = 3\sqrt{3}i — 3\sqrt{3}i = 0$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 0}}$