ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным i, и знаменателем, равным -i.

a) Выпишите первые 7 членов этой прогрессии;

б) найдите значение 27-го члена прогрессии;

в) найдите сумму первых 2007 членов прогрессии;

г) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й.

Дана геометрическая прогрессия:

$$b_1 = i, \quad q = -i;$$

а) Выпишем первые 7 членов этой прогрессии:

$$b_1 = i;$$ $$b_2 = i \cdot (-i) = -i^2 = -(-1) = 1;$$ $$b_3 = 1 \cdot (-i) = -i;$$ $$b_4 = (-i) \cdot (-i) = i^2 = -1;$$ $$b_5 = -1 \cdot (-i) = i;$$ $$b_6 = b_2 = 1;$$ $$b_7 = b_3 = -i;$$

Ответ: $i; 1; -i; -1; i; 1; -i$.

б) Найдём значение 27-го члена прогрессии:

$$b_{27} = b_1 \cdot q^{27 — 1} = b_1 \cdot q^{26};$$ $$b_{27} = i \cdot (-i)^{26} = i \cdot i^{26} = i \cdot (i^2)^{13} = i \cdot (-1)^{13} = -i;$$

Ответ: $-i$.

в) Найдём сумму первых 2007 членов прогрессии:

$$S_{2007} = \frac{b_1 \cdot (q^{2007} — 1)}{q — 1};$$ $$S_{2007} = \frac{i \cdot ((-i)^{2007} — 1)}{-i — 1} = \frac{-i^{2008} — i}{-i — 1} = \frac{-(i^2)^{1004} — i}{-i — 1};$$ $$S_{2007} = \frac{-(-1)^{1004} — i}{-i — 1} = \frac{-1 — i}{-i — 1} = 1;$$

Ответ: $1$.

г) Найдём сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й:

$$S_{14} = \frac{b_1 \cdot (q^{14} — 1)}{q — 1} \quad \text{и} \quad S_{30} = \frac{b_1 \cdot (q^{30} — 1)}{q — 1};$$ $$S_{14} = \frac{i \cdot ((-i)^{14} — 1)}{-i — 1} = \frac{i \cdot i^{14} — i}{-i — 1} = \frac{(i^2)^7 \cdot i — i}{-i — 1} = \frac{-i — i}{-i — 1} = \frac{2i}{i + 1};$$ $$S_{30} = \frac{i \cdot ((-i)^{30} — 1)}{-i — 1} = \frac{i \cdot i^{30} — i}{-i — 1} = \frac{(i^2)^{15} \cdot i — i}{-i — 1} = \frac{-i — i}{-i — 1} = \frac{2i}{i + 1};$$ $$S_{15-30} = S_{30} — S_{14} = \frac{2i}{i + 1} — \frac{2i}{i + 1} = 0;$$

Ответ: $0$.

Геометрическая прогрессия:

$$b_1 = i, \quad q = -i$$

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии (если $q \ne 1$):

$$S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}$$

а) Найти первые 7 членов прогрессии

Вычисляем по формуле:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

1.

$b_1 = i$

2.

$$b_2 = i \cdot (-i) = -i^2 = -(-1) = 1$$

3.

$$b_3 = b_2 \cdot q = 1 \cdot (-i) = -i$$

4.

$$b_4 = b_3 \cdot q = (-i) \cdot (-i) = (-1)^2 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$$

5.

$$b_5 = b_4 \cdot q = (-1) \cdot (-i) = i$$

6.

$$b_6 = b_5 \cdot q = i \cdot (-i) = -i^2 = 1$$

7.

$$b_7 = b_6 \cdot q = 1 \cdot (-i) = -i$$

Ответ (первые 7 членов):

$$\boxed{i;\ 1;\ -i;\ -1;\ i;\ 1;\ -i}$$

б) Найти $b_{27}$

По формуле:

$$b_{27} = b_1 \cdot q^{26}$$

Подставим:

$$b_{27} = i \cdot (-i)^{26}$$

Разложим:

$$(-i)^{26} = (-1)^{26} \cdot i^{26} = 1 \cdot i^{26}$$

Теперь:

$$i^{26} = (i^2)^{13} = (-1)^{13} = -1$$

Итак:

$$b_{27} = i \cdot (-1) = -i$$

Ответ: $\boxed{-i}$

в) Найти сумму первых 2007 членов: $S_{2007}$

Формула:

$$S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}$$

Подставим:

$$S_{2007} = \frac{i \cdot ((-i)^{2007} — 1)}{-i — 1}$$

Шаг 1: Вычислим $(-i)^{2007}$

$$(-i)^{2007} = (-1)^{2007} \cdot i^{2007} = -1 \cdot i^{2007}$$

Найдём $i^{2007}$:

$$i^{2007} = (i^2)^{1003} \cdot i = (-1)^{1003} \cdot i = -1 \cdot i = -i$$

Значит:

$$(-i)^{2007} = -(-i) = i$$

Шаг 2: Подставим в формулу:

$$S_{2007} = \frac{i \cdot (i — 1)}{-i — 1}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$i \cdot (i — 1) = i^2 — i = -1 — i$$

Теперь:

$$S_{2007} = \frac{-1 — i}{-i — 1}$$

Шаг 3: Упростим дробь с помощью сопряжённого знаменателя:

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $-i — 1 \to -i + 1$:

$$\frac{-1 — i}{-i — 1} = \frac{(-1 — i)(-i + 1)}{(-i — 1)(-i + 1)}$$

Вычислим числитель:

$$(-1-i)(-i+1)=(-1)(-i)+(-1)(1)+(-i)(-i)+(-i)(1)=$$

$$(-1 — i)(-i + 1) = (-1)(-i) + (-1)(1) + (-i)(-i) + (-i)(1) = i — 1 + i^2 — i = i — 1 -1 — i = -2$$

Вычислим знаменатель:

$$(-i — 1)(-i + 1) = (-i)^2 — 1^2 = -1 — 1 = -2$$

Итак:

$$\frac{-2}{-2} = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

г) Найти сумму членов с 15-го по 30-й: $S_{15-30}$

Формула:

$$S_{15-30} = S_{30} — S_{14}$$

Найдём $S_{14}$:

$$S_{14} = \frac{i \cdot ((-i)^{14} — 1)}{-i — 1}$$

Вычислим $(-i)^{14}$:

$$(-i)^{14} = (-1)^{14} \cdot i^{14} = 1 \cdot (i^2)^7 = (-1)^7 = -1$$

Теперь:

$$S_{14} = \frac{i \cdot (-1 — 1)}{-i — 1} = \frac{-2i}{-i — 1} = \frac{2i}{i + 1}$$

Найдём $S_{30}$:

$$S_{30} = \frac{i \cdot ((-i)^{30} — 1)}{-i — 1}$$

Аналогично:

$$(-i)^{30} = (-1)^{30} \cdot i^{30} = 1 \cdot (i^2)^{15} = (-1)^{15} = -1$$

Значит:

$$S_{30} = \frac{i \cdot (-1 — 1)}{-i — 1} = \frac{-2i}{-i — 1} = \frac{2i}{i + 1}$$

Теперь:

$$S_{15-30} = S_{30} — S_{14} = \frac{2i}{i + 1} — \frac{2i}{i + 1} = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

Финальные ответы:

а) $i;\ 1;\ -i;\ -1;\ i;\ 1;\ -i$

б) $-i$

в) $1$

г) $0$