ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 32 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) (x^2+2x-63)/(49-x^2);

б) (6x^2+x)/(6x^2-17x-3);

в) (8x-x^2)/(x^2-3x-40);

г) (5x^2-12x+4)/(25x^2-4).

а) $\frac{x^2 + 2x — 63}{49 — x^2} = \frac{(x+9)(x-7)}{(7-x)(7+x)} = -\frac{(x+9)(7-x)}{(7-x)(7+x)} = -\frac{x+9}{x+7}$

Разложим на множители числитель дроби:

$$x^2 + 2x — 63 = (x + 9)(x — 7).$$

Разложим на множители знаменатель дроби:

$$49 — x^2 = (7 — x)(7 + x).$$

Итоговое выражение:

$$-\frac{x + 9}{x + 7}.$$

б) $\frac{6x^2 + x}{6x^2 — 17x — 3} = \frac{x(6x+1)}{6(x+\frac{1}{6})(x-3)} = \frac{x(6x+1)}{(6x+1)(x-3)} = \frac{x}{x-3}$

Разложим на множители числитель дроби:

$$6x^2 + x = x(6x + 1).$$

Разложим на множители знаменатель дроби:

$$6x^2 — 17x — 3 = 6 \left(x + \frac{1}{6}\right)(x — 3).$$

Итоговое выражение:

$$\frac{x}{x — 3}.$$

в) $\frac{8x — x^2}{x^2 — 3x — 40} = \frac{x(8-x)}{(x+5)(x-8)} = -\frac{x(x-8)}{(x+5)(x-8)} = -\frac{x}{x+5}$

Разложим на множители числитель дроби:

$$8x — x^2 = x(8 — x).$$

Разложим на множители знаменатель дроби:

$$x^2 — 3x — 40 = (x + 5)(x — 8).$$

Итоговое выражение:

$$-\frac{x}{x + 5}.$$

г) $\frac{5x^2 — 12x + 4}{25x^2 — 4} = \frac{5\left(x-\frac{2}{5}\right)(x-2)}{(5x-2)(5x+2)} = \frac{(5x-2)(x-2)}{(5x-2)(5x+2)} = \frac{x-2}{5x+2}$

Разложим на множители числитель дроби:

$$5x^2 — 12x + 4 = 5\left(x — \frac{2}{5}\right)(x — 2).$$

Разложим на множители знаменатель дроби:

$$25x^2 — 4 = (5x — 2)(5x + 2).$$

Итоговое выражение:

$$\frac{x — 2}{5x + 2}.$$

а) $\frac{x^2 + 2x — 63}{49 — x^2} = \frac{(x+9)(x-7)}{(7-x)(7+x)} = -\frac{(x+9)(7-x)}{(7-x)(7+x)} = -\frac{x+9}{x+7}$

Разложим на множители числитель дроби:

У нас есть выражение $x^2 + 2x — 63$. Чтобы разложить его на множители, нужно найти корни квадратного уравнения $x^2 + 2x — 63 = 0$.

Для этого используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = 2$, $c = -63$.

Вычислим дискриминант:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256.$$

Теперь найдем корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 — 16}{2} = -9,$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 16}{2} = 7.$$

Таким образом, у нас есть два корня: $x_1 = -9$ и $x_2 = 7$.

Мы можем разложить выражение $x^2 + 2x — 63$ на множители:

$$x^2 + 2x — 63 = (x + 9)(x — 7).$$

Разложим на множители знаменатель дроби:

Знаменатель — это выражение $49 — x^2$, которое является разностью квадратов:

$$49 — x^2 = 7^2 — x^2 = (7 — x)(7 + x).$$

Приводим выражение к более удобному виду:

Теперь можем подставить разложенные множители в исходную дробь:

$$\frac{x^2 + 2x — 63}{49 — x^2} = \frac{(x + 9)(x — 7)}{(7 — x)(7 + x)}.$$

Заметим, что $7 — x = -(x — 7)$, и можем переписать дробь:

$$\frac{(x + 9)(x — 7)}{-(x — 7)(7 + x)} = -\frac{(x + 9)(7 — x)}{(7 — x)(7 + x)}.$$

После сокращения $(7 — x)$ и $(7 + x)$ получаем:

$$-\frac{x + 9}{x + 7}.$$

б) $\frac{6x^2 + x}{6x^2 — 17x — 3} = \frac{x(6x+1)}{6(x+\frac{1}{6})(x-3)} = \frac{x(6x+1)}{(6x+1)(x-3)} = \frac{x}{x-3}$

Разложим на множители числитель дроби:

У нас есть числитель $6x^2 + x$, который можно вынести за скобки:

$$6x^2 + x = x(6x + 1).$$

Разложим на множители знаменатель дроби:

Рассмотрим знаменатель $6x^2 — 17x — 3$. Для разложения на множители решим квадратное уравнение $6x^2 — 17x — 3 = 0$.

Для этого находим дискриминант:

$$D = (-17)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 289 + 72 = 361.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-17) — \sqrt{361}}{2 \cdot 6} = \frac{17 — 19}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6},$$ $$x_2 = \frac{-(-17) + \sqrt{361}}{2 \cdot 6} = \frac{17 + 19}{12} = \frac{36}{12} = 3.$$

Таким образом, знаменатель можно разложить как:

$$6x^2 — 17x — 3 = 6 \left(x + \frac{1}{6}\right)(x — 3).$$

Приводим выражение к более удобному виду:

Подставим разложенные множители в дробь:

$$\frac{x(6x+1)}{6(x+\frac{1}{6})(x-3)} = \frac{x(6x+1)}{(6x+1)(x-3)}.$$

После сокращения $(6x + 1)$ получаем:

$$\frac{x}{x — 3}.$$

в) $\frac{8x — x^2}{x^2 — 3x — 40} = \frac{x(8-x)}{(x+5)(x-8)} = -\frac{x(x-8)}{(x+5)(x-8)} = -\frac{x}{x+5}$

Разложим на множители числитель дроби:

У нас есть числитель $8x — x^2$, который можно переписать как:

$$8x — x^2 = x(8 — x).$$

Разложим на множители знаменатель дроби:

Рассмотрим знаменатель $x^2 — 3x — 40$. Для разложения на множители решим квадратное уравнение $x^2 — 3x — 40 = 0$.

Для этого находим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 13}{2} = -5,$$ $$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 13}{2} = 8.$$

Таким образом, знаменатель можно разложить как:

$$x^2 — 3x — 40 = (x + 5)(x — 8).$$

Приводим выражение к более удобному виду:

Подставим разложенные множители в дробь:

$$\frac{x(8 — x)}{(x + 5)(x — 8)} = -\frac{x(x — 8)}{(x + 5)(x — 8)}.$$

После сокращения $(x — 8)$ получаем:

$$-\frac{x}{x + 5}.$$

г) $\frac{5x^2 — 12x + 4}{25x^2 — 4} = \frac{5\left(x-\frac{2}{5}\right)(x-2)}{(5x-2)(5x+2)} = \frac{(5x-2)(x-2)}{(5x-2)(5x+2)} = \frac{x-2}{5x+2}$

Разложим на множители числитель дроби:

Рассмотрим числитель $5x^2 — 12x + 4$. Для разложения на множители решим квадратное уравнение $5x^2 — 12x + 4 = 0$.

Для этого находим дискриминант:

$$D = (-12)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 — 80 = 64.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-12) — \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 — 8}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5},$$ $$x_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 8}{10} = \frac{20}{10} = 2.$$

Таким образом, числитель можно разложить как:

$$5x^2 — 12x + 4 = 5\left(x — \frac{2}{5}\right)(x — 2).$$

Разложим на множители знаменатель дроби:

Рассмотрим знаменатель $25x^2 — 4$, который является разностью квадратов:

$$25x^2 — 4 = (5x)^2 — 2^2 = (5x — 2)(5x + 2).$$

Приводим выражение к более удобному виду:

Подставим разложенные множители в дробь:

$$\frac{5\left(x — \frac{2}{5}\right)(x — 2)}{(5x — 2)(5x + 2)} = \frac{(5x — 2)(x — 2)}{(5x — 2)(5x + 2)}.$$

После сокращения $(5x — 2)$ получаем:

$$\frac{x — 2}{5x + 2}.$$