ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 33.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел $z$, удовлетворяющих заданному условию:

а) $\mathrm{Re}z=4$ или $\mathrm{Im}z=4$;

б) $\mathrm{\mid }\mathrm{Re}z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathrm{Im}z\mathrm{\mid }$;

в) $\mathrm{Re}z=5$ или $\mathrm{Im}z=4$;

г) $\mathrm{Re}z=(\mathrm{Im}z{)}^2$ или $(\mathrm{Re}z{)}^2=\mathrm{Im}z$.

Изобразить множество всех комплексных чисел, у которых:

а) $\text{Re }z=4$ или $\text{Im }z=4$;
$x=4$ или $y=4$;

б) $\mathrm{\mid }\text{Re }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\text{Im }z\mathrm{\mid }$;
$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$;

в) $\text{Re }z=5$ или $\text{Im }z=4$;
$x=5$ или $y=4$;

г) $\text{Re }z=(\text{Im }z{)}^2$ или $(\text{Re }z{)}^2=\text{Im }z$;
$x=y^2$ или $y=x^2$;

Изобразить множество всех комплексных чисел, у которых:

а) $\text{Re }z=4$ или $\text{Im }z=4$

$$x=4\text{или}y=4$$

Анализ:

Форма комплексного числа:

$$z=x+iy$$

Первое условие:

$x=4\Rightarrow \text{Re }z=4$

• Это означает, что действительная часть фиксирована.
• $y$ — произвольное, любое вещественное число.

$$z=4+iy,y\in \mathbb{R}$$

• Это вертикальная прямая на комплексной плоскости через точку $(4,0)$.

Второе условие:

$y=4\Rightarrow \text{Im }z=4$

• Здесь мнимая часть фиксирована, $x$ — произвольное вещественное число.

$$z=x+4i,x\in \mathbb{R}$$

• Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0,4)$.

б) $\mathrm{\mid }\text{Re }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\text{Im }z\mathrm{\mid }$

$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$$

Анализ:

Абсолютные значения равны, значит возможны четыре случая:

1. $x=y$
2. $x=-y$
3. $x=0,y=0$ — частный случай (входит в обе прямые)

Геометрическая интерпретация:

• Уравнение $x=y$ — прямая под углом 45° через начало координат.
• Уравнение $x=-y$ — прямая под углом -45° (пересекает II и IV квадранты).
• Вместе — две пересекающиеся диагональные прямые, образующие букву “X”.

в) $\text{Re }z=5$ или $\text{Im }z=4$

$$x=5\text{или}y=4$$

Разбор:

Первое подмножество:

$$x=5\Rightarrow z=5+iy$$

• Вертикальная прямая через $(5,0)$

Второе подмножество:

$$y=4\Rightarrow z=x+4i$$

• Горизонтальная прямая через $(0,4)$

г) $\text{Re }z=(\text{Im }z{)}^2$ или $(\text{Re }z{)}^2=\text{Im }z$

$$x=y^2\text{или}y=x^2$$

Первая часть:

$$x=y^2\Rightarrow z=y^2+iy$$

• Это парабола, открытая вправо.
• $x\ge 0$, так как квадрат не может быть отрицательным.
• Проходит через начало координат.
• Симметрична относительно оси $x$.

Вторая часть:

$$y=x^2\Rightarrow z=x+i{x}^2$$

• Это парабола, открытая вверх.
• $y\ge 0$
• Проходит через начало координат.
• Симметрична относительно оси $y$.

Объединение:

Это объединение двух парабол:

1. $x=y^2$ — ветви направлены вправо;
2. $y=x^2$ — ветви направлены вверх.