ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 33.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам
$z_0 = 1$,
$z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$,
$z_2 = z_1^2$,
$z_3 = z_1^3$,
$z_4 = z_1^4$,
$z_5 = z_1^5$.

б) Чему равна величина угла:
$\angle z_0Oz_1$,
$\angle z_1Oz_2$,
…,
$\angle z_5Oz_0$?

в) На каком расстоянии от начала координат находятся все эти точки?

г) Перечислите все пары точек, соответствующих сопряжённым друг другу числам. Сколько таких пар?

Даны комплексные числа:

$$z_{0} = 1 = 1 + 0 \cdot i = \cos 0 + \sin 0 \cdot i;$$ $$z_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i = \cos \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{3} \cdot i;$$ $$z_{2} = z_{1}^{2} = \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)^{2} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} i + \frac{3}{4} i^{2} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i = \cos \frac{2\pi}{3} + \sin \frac{2\pi}{3} \cdot i;$$ $$z_{3} = z_{1}^{3} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} i — \frac{1}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{3}}{2} i + \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{4} i^{2} — \frac{1}{4} = -1 + 0i = \cos \pi + \sin \pi \cdot i;$$ $$z_{4} = z_{1}^{4} = -1 \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) = -\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{4\pi}{3} + \sin \frac{4\pi}{3} \cdot i;$$ $$z_{5} = z_{1}^{5} = -1 \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) = \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i = \cos \frac{5\pi}{3} + \sin \frac{5\pi}{3} \cdot i;$$

а) Данные точки на координатной плоскости:

б) По графику определим величину углов:

$$\angle z_{0}Oz_{1} = \angle z_{1}Oz_{2} = \cdots = \angle z_{4}Oz_{5} = \angle z_{5}Oz_{0} = 60^\circ;$$

в) Все точки находятся на расстоянии радиуса единичной окружности от начала координат, то есть:

$$Oz_{1} = Oz_{2} = \cdots = Oz_{5} = 1;$$

г) Все пары точек, соответствующих сопряженным числам:

$$z_{1}z_{5}, \quad z_{2}z_{4};$$

Всего есть 2 таких пары

Даны комплексные числа:

• $z_0 = 1$,
• $z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$,
• $z_2 = z_1^2$,
• $z_3 = z_1^3$,
• $z_4 = z_1^4$,
• $z_5 = z_1^5$.

Задание состоит из нескольких пунктов:

а) Размещение точек на координатной плоскости;
б) Определение углов между радиусами;
в) Определение расстояний от начала координат до точек;
г) Поиск пар комплексных сопряжённых чисел.

Шаг 1: Представление чисел $z_k$ в тригонометрической форме

Рассмотрим каждое из комплексных чисел как точку на единичной окружности, т.е. таких, у которых модуль равен 1.
Такие числа удобно записывать в тригонометрической или экспоненциальной форме:

$$z = \cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}$$

$z_0 = 1 = \cos 0 + i\sin 0 = e^{i \cdot 0}$

Угол: $\theta_0 = 0$

$z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} = e^{i \cdot \frac{\pi}{3}}$

Угол: $\theta_1 = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

$z_2 = z_1^2 = e^{i \cdot \frac{2\pi}{3}} = \cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3}$

Угол: $\theta_2 = \frac{2\pi}{3} = 120^\circ$

$z_3 = z_1^3 = e^{i \cdot \pi} = \cos \pi + i\sin \pi = -1$

Угол: $\theta_3 = \pi = 180^\circ$

$z_4 = z_1^4 = e^{i \cdot \frac{4\pi}{3}} = \cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3}$

Угол: $\theta_4 = \frac{4\pi}{3} = 240^\circ$

$z_5 = z_1^5 = e^{i \cdot \frac{5\pi}{3}} = \cos \frac{5\pi}{3} + i\sin \frac{5\pi}{3}$

Угол: $\theta_5 = \frac{5\pi}{3} = 300^\circ$

а) Координатная плоскость

Каждое из этих чисел находится на единичной окружности, так как:

$$|z_k| = \sqrt{a^2 + b^2} = 1 \text{ для всех } k$$

Итак, мы получаем шесть точек, равномерно распределённых по окружности, с шагом:

$$\Delta\theta = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$$

Эти точки соответствуют вершинам правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность.

б) Углы между радиусами

Так как точки равномерно распределены по окружности, то угол между соседними радиусами равен:

$$\angle z_kOz_{k+1} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$$

Все углы между последовательно идущими точками равны:

$$\angle z_0Oz_1 = \angle z_1Oz_2 = \cdots = \angle z_5Oz_0 = 60^\circ$$

в) Расстояния от начала координат

Поскольку каждая точка лежит на единичной окружности, расстояние от начала координат до любой точки:

$$|z_k| = 1, \quad \text{для всех } k = 0, 1, …, 5$$

г) Пары сопряжённых чисел

Комплексно сопряжённое число к $z = a + bi$ — это $\overline{z} = a — bi$

Рассмотрим пары:

• $z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \Rightarrow \overline{z_1} = \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i = z_5$
• $z_2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \Rightarrow \overline{z_2} = -\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}i = z_4$

Проверим также оставшиеся:

• $z_3 = -1 \Rightarrow \overline{z_3} = -1 \Rightarrow \text{сопряжено само себе (действительное число)}$
• $z_0 = 1 \Rightarrow \overline{z_0} = 1 \Rightarrow \text{тоже действительное}$

Таким образом, две пары сопряжённых чисел:

• $(z_1, z_5)$
• $(z_2, z_4)$