ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите модуль комплексного числа:

а) $z = 6 — 8i$

б) $z = 20 + 21i$

в) $z=i(2+i)$

г) $z=(3-i)(2+i)$

Найти модуль комплексного числа:

а) $z = 6 — 8i$;
$|z| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10;$
Ответ: 10.

б) $z = 20 + 21i$;
$|z| = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29;$
Ответ: 29.

в) $z = i(2 + i) = 2i + i^2 = -1 + 2i$;
$|z| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5};$
Ответ: $\sqrt{5}$.

г) $z = (3 — i)(2 + i) = 6 + 3i — 2i — i^2 = 7 + i$;
$|z| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2};$
Ответ: $5\sqrt{2}$.

Теория: что такое модуль комплексного числа

Если задано комплексное число в виде

$$z = a + bi,$$

где $a$ — действительная часть, $b$ — мнимая часть,
то модуль числа $z$, обозначаемый как $|z|$, вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Это аналог расстояния от начала координат до точки $(a, b)$ на комплексной плоскости.

а) Найти модуль числа $z = 6 — 8i$

Это число записано в стандартной форме:

• $a = 6$ — действительная часть
• $b = -8$ — мнимая часть

Подставляем в формулу:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2}$$

Вычисляем квадраты:

$$= \sqrt{36 + 64}$$ $$= \sqrt{100}$$ $$= 10$$

Ответ: 10

б) Найти модуль числа $z = 20 + 21i$

Дано:

• $a = 20$
• $b = 21$

Применим формулу:

$$|z| = \sqrt{20^2 + 21^2}$$

Считаем:

$$= \sqrt{400 + 441}$$ $$= \sqrt{841}$$ $$= 29$$

Ответ: 29

в) Найти модуль числа $z = i(2 + i)$

Сначала упростим выражение. Раскроем скобки:

$$z = i(2 + i) = i \cdot 2 + i \cdot i = 2i + i^2$$

Известно, что $i^2 = -1$, подставим:

$$z = 2i — 1 = -1 + 2i$$

Теперь определим:

• $a = -1$
• $b = 2$

Найдём модуль:

$$|z| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$

Ответ: $\sqrt{5}$

г) Найти модуль числа $z = (3 — i)(2 + i)$

Сначала перемножим два комплексных числа:

Используем распределительное свойство (по формуле: $(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$):

$$(3 — i)(2 + i) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot i — i \cdot 2 — i \cdot i$$ $$= 6 + 3i — 2i — i^2$$ $$= 6 + i — (-1) \quad \text{(так как \( i^2 = -1 \))}$$ $$= 6 + i + 1 = 7 + i$$

Теперь:

• $a = 7$
• $b = 1$

Найдём модуль:

$$|z| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$$

Можно упростить:

$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$

Ответ: $5\sqrt{2}$

Итоги:

а) $z = 6 — 8i$ → $|z| = 10$
б) $z = 20 + 21i$ → $|z| = 29$
в) $z = i(2 + i) = -1 + 2i$ → $|z| = \sqrt{5}$
г) $z = (3 — i)(2 + i) = 7 + i$ → $|z| = 5\sqrt{2}$