ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Изобразить на комплексной плоскости множество всех чисел $z$, удовлетворяющих уравнению:

а) $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }$;
$\mathrm{\mid }x+yi\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x+yi-1\mathrm{\mid };$
$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2};$
$x^2+y^2=(x-1{)}^2+y^2;$
$x^2=x^2-2x+1;$
$-2x+1=0;$
$2x=1;$
$x=0.5;$

б) $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-3\mathrm{\mid }$;
$\mathrm{\mid }x+yi-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x+yi-3\mathrm{\mid };$
$\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=\sqrt{(x-3{)}^2+y^2};$
$(x-1{)}^2+y^2=(x-3{)}^2+y^2;$
$x^2-2x+1=x^2-6x+9;$
$4x=8;$
$x=2;$

в) $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-i\mathrm{\mid }$;
$\mathrm{\mid }x+yi-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x+yi-i\mathrm{\mid };$
$\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y-1{)}^2};$
$(x-1{)}^2+y^2=x^2+(y-1{)}^2;$
$x^2-2x+1+y^2=x^2+y^2-2y+1;$
$-2x=-2y;$
$y=x;$

г) $\mathrm{\mid }z+3i\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z+4\mathrm{\mid }$;
$\mathrm{\mid }x+yi+3i\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x+yi+4\mathrm{\mid };$
$\sqrt{x^2+(y+3{)}^2}=\sqrt{(x+4{)}^2+y^2};$
$x^2+(y+3{)}^2=(x+4{)}^2+y^2;$
$x^2+y^2+6y+9=x^2+8x+16+y^2;$
$6y=7+8x;$
$y=\frac{7}{6}+\frac{4}{3}x;$

а) $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }$

Шаг 1: Представим $z$ в виде $z=x+yi$

• Тогда $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{x^2+y^2}$
• $z-1=x-1+yi\Rightarrow \mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$

Шаг 2: Приравниваем модули

$$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$$

Шаг 3: Возводим обе части в квадрат

$$x^2+y^2=(x-1{)}^2+y^2$$

Шаг 4: Упростим

$$x^2+y^2=x^2-2x+1+y^2$$

Вычитаем $x^2+y^2$ с обеих сторон:

$$0=-2x+1\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=0.5$$

Ответ (а):

Это прямая $x=\frac{1}{2}$.
На комплексной плоскости — множество всех точек, находящихся на равном расстоянии от начала координат и точки $1+0i$.
Это — геометрическое место точек, равноудалённых от двух фиксированных точек, что и даёт перпендикулярную биссектрису отрезка $[0,1]$ на действительной оси.

б) $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-3\mathrm{\mid }$

Шаг 1: Пусть $z=x+yi$

• $z-1=x-1+yi\Rightarrow \mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$
• $z-3=x-3+yi\Rightarrow \mathrm{\mid }z-3\mathrm{\mid }=\sqrt{(x-3{)}^2+y^2}$

Шаг 2: Приравниваем модули и возводим в квадрат

$$(x-1{)}^2+y^2=(x-3{)}^2+y^2$$

Убираем $y^2$ с обеих сторон:

$$(x-1{)}^2=(x-3{)}^2$$

Шаг 3: Раскроем скобки

$$x^2-2x+1=x^2-6x+9$$

Упростим:

$$-2x+1=-6x+9\Rightarrow 4x=8\Rightarrow x=2$$

Ответ (б):

Это прямая $x=2$ — множество точек, равноудалённых от двух точек $1$ и $3$ на вещественной оси.
Это — биссектриса отрезка между точками $1+0i$ и $3+0i$.

в) $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-i\mathrm{\mid }$

Шаг 1: $z=x+yi$

• $z-1=x-1+yi\Rightarrow \mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$
• $z-i=x+(y-1)i\Rightarrow \mathrm{\mid }z-i\mathrm{\mid }=\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}$

Шаг 2: Приравниваем и возводим в квадрат

$$(x-1{)}^2+y^2=x^2+(y-1{)}^2$$

Шаг 3: Раскрываем скобки

Левая часть:

$$x^2-2x+1+y^2$$

Правая часть:

$$x^2+y^2-2y+1$$

Сравним:

$$x^2-2x+1+y^2=x^2+y^2-2y+1$$

Убираем $x^2,y^2,1$ с обеих сторон:

$$-2x=-2y\Rightarrow x=y$$

Ответ (в):

Это прямая $y=x$.
Множество точек, равноудалённых от точек $1+0i$ и $0+i$, лежит на биссектрисе угла между горизонтальной и вертикальной прямыми, проходящей через начало координат.

г) $\mathrm{\mid }z+3i\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z+4\mathrm{\mid }$

Шаг 1: $z=x+yi$

• $z+3i=x+(y+3)i\Rightarrow \mathrm{\mid }z+3i\mathrm{\mid }=\sqrt{x^2+(y+3{)}^2}$
• $z+4=(x+4)+yi\Rightarrow \mathrm{\mid }z+4\mathrm{\mid }=\sqrt{(x+4{)}^2+y^2}$

Шаг 2: Приравниваем модули и возводим в квадрат

$$x^2+(y+3{)}^2=(x+4{)}^2+y^2$$

Шаг 3: Раскрываем скобки

Левая часть:

$$x^2+y^2+6y+9$$

Правая часть:

$$x^2+8x+16+y^2$$

Сравним:

$$x^2+y^2+6y+9=x^2+8x+16+y^2$$

Убираем $x^2+y^2$ с обеих сторон:

$$6y+9=8x+16$$

Шаг 4: Выразим $y$ через $x$

$$6y=8x+7\Rightarrow y=\frac{8x+7}{6}=\frac{4}{3}x+\frac{7}{6}$$

Ответ (г):

Это прямая, заданная уравнением:

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{7}{6}$$

Геометрически: множество точек, равноудалённых от $z=-3i$ и $z=-4$, т.е. от точек $(0,-3)$ и $(-4,0)$.