ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти аргумент комплексного числа:

а) $z = 5i = 5(0 + 1i) = 5\left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right);$
$\arg z = \arcsin 1 = \frac{\pi}{2};$
Ответ: $\frac{\pi}{2}.$

б) $z = 5{,}55 = 5{,}55(1 + 0i) = 5{,}55(\cos 0 + i \sin 0);$
$\arg z = \arcsin 0 = 0;$
Ответ: $0.$

в) $z = -5{,}5i = 5{,}5(0 — 1i) = 5{,}5\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right);$
$\arg z = \arcsin(-1) = -\arcsin 1 = -\frac{\pi}{2};$
Ответ: $-\frac{\pi}{2}.$

г) $z = -5{,}555 = 5{,}555(-1 + 0i) = 5{,}555(\cos \pi + i \sin \pi);$
$\arg z = \arccos(-1) = \pi — \arccos 1 = \pi;$
Ответ: $\pi.$

Цель: Найти аргумент $\arg z$ комплексного числа $z$.

Аргумент числа $z = x + iy$ — это угол $\theta$, под которым радиус-вектор числа $z$ выходит из начала координат в комплексной плоскости, измеряется от положительного направления оси Re (действительной оси) до вектора $z$.

Формально:

$$\arg z = \theta, \quad \text{где} \quad z = |z| (\cos \theta + i \sin \theta)$$

а) $z = 5i$

Шаг 1. Преобразуем:

$$z = 5i = 0 + 5i$$

Это точка на мнимой оси, выше начала координат.

Шаг 2. Определим модуль:

$$|z| = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5$$

Шаг 3. Переходим к тригонометрической форме:
Ищем $\theta$ такое, что:

$$\cos \theta = 0, \quad \sin \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}$$ $$z = 5\left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right)$$

Ответ:

$$\arg z = \frac{\pi}{2}$$

б) $z = 5{,}55$

Шаг 1. Преобразуем:

$$z = 5{,}55 = 5{,}55 + 0i$$

Это число расположено на действительной оси, справа от начала координат.

Шаг 2. Модуль:

$$|z| = \sqrt{5{,}55^2 + 0^2} = 5{,}55$$

Шаг 3. Тригонометрическая форма:

$$\cos \theta = 1, \quad \sin \theta = 0 \Rightarrow \theta = 0$$ $$z = 5{,}55(\cos 0 + i \sin 0)$$

Ответ:

$$\arg z = 0$$

в) $z = -5{,}5i$

Шаг 1. Преобразуем:

$$z = -5{,}5i = 0 — 5{,}5i$$

Число лежит на мнимой оси, ниже начала координат.

Шаг 2. Модуль:

$$|z| = \sqrt{0^2 + (-5{,}5)^2} = 5{,}5$$

Шаг 3. Ищем угол:

$$\cos \theta = 0, \quad \sin \theta = -1 \Rightarrow \theta = -\frac{\pi}{2}$$ $$z = 5{,}5\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$$

Ответ:

$$\arg z = -\frac{\pi}{2}$$

г) $z = -5{,}555$

Шаг 1. Преобразуем:

$$z = -5{,}555 + 0i$$

Число лежит на действительной оси, слева от начала координат.

Шаг 2. Модуль:

$$|z| = \sqrt{(-5{,}555)^2 + 0^2} = 5{,}555$$

Шаг 3. Ищем угол:

$$\cos \theta = -1, \quad \sin \theta = 0 \Rightarrow \theta = \pi$$ $$z = 5{,}555(\cos \pi + i \sin \pi)$$

Ответ:

$$\arg z = \pi$$

Итоговые ответы:

а) $\arg z = \frac{\pi}{2}$
б) $\arg z = 0$
в) $\arg z = -\frac{\pi}{2}$
г) $\arg z = \pi$