ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти аргумент комплексного числа:

а) $z=2-2i$

$$z=2-2i=2\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i)=2\sqrt{2}(\cos (-\frac{\pi }{4})+i\sin (-\frac{\pi }{4}));$$$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2};$$$$\arg z=\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}})=-\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\pi }{4};$$

Ответ: $-\frac{\pi }{4}$.

б) $z=(-\sqrt{3}+i{)}^2$

$$z=(-\sqrt{3}+i{)}^2=i^2-2i\sqrt{3}+3=3-1-2i\sqrt{3};$$$$z=2-2i\sqrt{3}=4(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=2(\cos (-\frac{\pi }{3})+i\sin (-\frac{\pi }{3}));$$$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4;$$$$\arg z=\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\pi }{3};$$

Ответ: $-\frac{\pi }{3}$.

в) $z=-3+3i$

$$z=-3+3i=3\sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)=3\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4});$$$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2};$$$$\arg z=\arccos (-\frac{1}{\sqrt{2}})=\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4};$$

Ответ: $\frac{3\pi }{4}$.

г) $z=(-3+3i{)}^2$

$$z=(-3+3i{)}^2=9i^2-18i+9=9-9-18i;$$$$z=-18i=18(0-i)=18(\cos (-\frac{\pi }{2})+i\sin (-\frac{\pi }{2}));$$$$\arg z=\arcsin (-1)=-\arcsin 1=-\frac{\pi }{2};$$

Ответ: $-\frac{\pi }{2}$.

Цель: Найти аргумент комплексного числа $z$, то есть угол $\theta$, под которым вектор $z$ расположен в комплексной плоскости.
Искомый угол должен удовлетворять:

$$z=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }(\cos \theta +i\sin \theta )\Rightarrow \arg z=\theta$$

Аргумент — это направление вектора $z$, измеряемое против часовой стрелки от положительной части оси Re.

а) $z=2-2i$

Шаг 1. Представим число в виде $x+iy$:

$$z=2-2i\Rightarrow x=2,y=-2$$

Шаг 2. Вычислим модуль:

$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

Шаг 3. Найдём синус и косинус аргумента:

$$\cos \theta =\frac{x}{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},\sin \theta =\frac{y}{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Шаг 4. Узнаём угол:

Из таблицы:

$$\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}},\sin (-\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \theta =-\frac{\pi }{4}$$

Значит:

$$z=2\sqrt{2}(\cos (-\frac{\pi }{4})+i\sin (-\frac{\pi }{4}))$$

Ответ: $\arg z=-\frac{\pi }{4}$

б) $z=(-\sqrt{3}+i{)}^2$

Шаг 1. Раскроем скобки:

$$(-\sqrt{3}+i{)}^2=(-\sqrt{3}{)}^2+2(-\sqrt{3})(i)+i^2=3-2i\sqrt{3}-1=2-2i\sqrt{3}$$

Шаг 2. Выделим модуль:

$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$$

Шаг 3. Найдём синус и косинус аргумента:

$$\cos \theta =\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\sin \theta =\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 4. Узнаём угол:

Из таблицы:

$$\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2},\sin (-\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \theta =-\frac{\pi }{3}$$$$z=4(\cos (-\frac{\pi }{3})+i\sin (-\frac{\pi }{3}))$$

Ответ: $\arg z=-\frac{\pi }{3}$

в) $z=-3+3i$

Шаг 1. Представим число в виде $x+iy$:

$$x=-3,y=3$$

Шаг 2. Модуль:

$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{(-3{)}^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$

Шаг 3. Найдём синус и косинус аргумента:

$$\cos \theta =\frac{-3}{3\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}},\sin \theta =\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Шаг 4. Узнаём угол:

Так как:

• $\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}$
• $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$
  → угол лежит во второй четверти, это:

$$\theta =\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$$$$z=3\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4})$$

Ответ: $\arg z=\frac{3\pi }{4}$

г) $z=(-3+3i{)}^2$

Шаг 1. Возведём в квадрат:

$$(-3+3i{)}^2=(-3{)}^2+2(-3)(3i)+(3i{)}^2=9-18i+9i^2=9-18i-9=-18i$$

Шаг 2. Представим:

$$z=-18i=0-18i$$

Шаг 3. Модуль:

$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{0^2+(-18{)}^2}=18$$

Шаг 4. Найдём синус и косинус аргумента:

$$\cos \theta =0,\sin \theta =-1\Rightarrow \theta =-\frac{\pi }{2}$$$$z=18(\cos (-\frac{\pi }{2})+i\sin (-\frac{\pi }{2}))$$

Ответ: $\arg z=-\frac{\pi }{2}$

Итоговые ответы:

а) $\arg z=-\frac{\pi }{4}$
б) $\arg z=-\frac{\pi }{3}$
в) $\arg z=\frac{3\pi }{4}$
г) $\arg z=-\frac{\pi }{2}$