ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Изобразить на комплексной плоскости множество всех тех чисел, у которых аргумент:

а) Больше чем $\frac{\pi}{2}$, но меньше чем $\frac{3\pi}{4}$:

$$\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{4};$$ $$90^\circ < a < 135^\circ;$$

б) Больше чем $-\frac{3\pi}{4}$, но меньше чем $\frac{\pi}{6}$:

$$-\frac{3\pi}{4} < a < \frac{\pi}{6};$$ $$-135^\circ < a < 30^\circ;$$

в) Больше чем $\frac{3\pi}{4}$ или меньше чем $\frac{\pi}{6}$:

$$a > \frac{3\pi}{4} \quad \text{или} \quad a < \frac{\pi}{6};$$ $$a > 135^\circ \quad \text{или} \quad a < 30^\circ;$$

г) Отличается от $-\frac{2\pi}{3}$ не более чем на $\frac{\pi}{6}$:

$$-\frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6} \leq a \leq -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6};$$ $$-\frac{5\pi}{6} \leq a \leq -\frac{\pi}{2};$$ $$-{150}^{\circ }\le a\le -{90}^{\circ };$$

$$-150^\circ \leq a \leq -90^\circ;$$

Найти и изобразить на комплексной плоскости множество всех комплексных чисел, у которых аргумент $a$ принадлежит указанным промежуткам.

Мы разберём каждый пункт подробно, используя геометрическую интерпретацию аргумента комплексного числа.

Напоминание:

Любое комплексное число $z = x + iy$ можно представить в полярной форме:

$$z = r(\cos a + i\sin a),$$

где:

• $r = |z| \ge 0$ — модуль (расстояние от начала координат до точки),
• $a = \arg(z) \in (-\pi, \pi]$ — аргумент (угол между положительным направлением оси Ox и вектором $\vec{z}$).

а) $\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{4}$

Переведём в градусы:

$$\frac{\pi}{2} = 90^\circ, \quad \frac{3\pi}{4} = 135^\circ.$$

Значит:

$$90^\circ < \arg(z) < 135^\circ$$

Это угол, который находится во второй четверти.

Геометрический смысл:

• Любое число $z \ne 0$, у которого аргумент от 90° до 135°, лежит в секторе между вертикальной осью Oy и лучом, идущим под углом 135° от положительной оси Ox.
• Это открытый сектор: границы не включаются (точки на лучах 90° и 135° не входят).

Множество:

Это все числа, лежащие в секторе второй четверти, между осями Oy и диагональю под 135°, не включая сами границы.

б) $-\frac{3\pi}{4} < a < \frac{\pi}{6}$

Переведём в градусы:

$$-\frac{3\pi}{4} = -135^\circ, \quad \frac{\pi}{6} = 30^\circ$$

Значит:

$$-135^\circ < \arg(z) < 30^\circ$$

Геометрический смысл:

• Это широкий сектор, начинающийся от -135° (т.е. третья четверть, левый нижний угол) до +30° (первая четверть).
• Сюда входят числа в:
  • третьей четверти,
  • четвёртой четверти,
  • первой четверти до 30°.

Множество:

• Все точки, кроме тех, которые имеют аргумент от 30° до 225°.
• Это сектор шириной 165°, расположенный против часовой стрелки от -135° до 30°.
• Границы не включаются.

в) $a > \frac{3\pi}{4} \quad \text{или} \quad a < \frac{\pi}{6}$

Переведём в градусы:

$$\frac{3\pi}{4} = 135^\circ, \quad \frac{\pi}{6} = 30^\circ$$

Геометрический смысл:

• Это объединение двух секторов:
  • $\arg(z) > 135^\circ$: сектор от 135° до 180°, затем продолжается от -180° до -225°, и так далее.
  • $\arg(z) < 30^\circ$: сектор от -180° до 30°.

Но поскольку аргумент всегда задаётся в диапазоне $(-\pi, \pi]$, мы рассматриваем:

• от 135° до 180° (во второй четверти и чуть больше),
• от -180° до 30° (т.е. почти весь круг, кроме сектора между 30° и 135°).

Множество:

Это весь комплексный круг, кроме сектора:

$$30^\circ \le a \le 135^\circ$$

то есть, вырезан сектор первой и части второй четверти.

Геометрически это всё, кроме “верха слева” круга.

г) $a \in \left[-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2} \right]$

(задано как: отличается от $-\frac{2\pi}{3}$ не более чем на $\frac{\pi}{6}$)

Вычислим границы:

$$-\frac{2\pi}{3} = -120^\circ, \quad \frac{\pi}{6} = 30^\circ$$

Значит:

$$a \in \left[-\frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6}, -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right] = \left[ -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2} \right]$$

Переведём в градусы:

$$-\frac{5\pi}{6} = -150^\circ, \quad -\frac{\pi}{2} = -90^\circ$$

Геометрический смысл:

• Это сектор в третьей четверти, между лучами, идущими под углами -150° и -90°.
• Границы включаются (так как неравенство нестрогое).

Множество:

Это замкнутый сектор в третьей четверти. Он содержит все числа, у которых аргумент лежит между -150° и -90°, включая обе границы.