ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

a) 5;

б) 3i;

в) — 8;

г) — 0,5i.

Записать комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

а) $z = 5 = 5(1 + 0i)$;
$\arg z = \arccos 1 = 0$;
Ответ: $z = 5(\cos 0 + i \sin 0)$.

б) $z = 3i = 3(0 + 1i)$;
$\arg z = \arccos 0 = \frac{\pi}{2}$;
Ответ: $z = 3\left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right)$.

в) $z = -8 = 8(-1 + 0i)$;
$\arg z = \arccos(-1) = \pi — \arccos 1 = \pi$;
Ответ: $z = 8(\cos \pi + i \sin \pi)$.

г) $z = -0.5i = \frac{1}{2}(0 — 1i)$;
$\arg z = \arcsin(-1) = -\arcsin 1 = -\frac{\pi}{2}$;
Ответ: $z = \frac{1}{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$.

Для того чтобы перевести комплексные числа в стандартную тригонометрическую форму, необходимо воспользоваться формулой:

$$z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi),$$

где:

$r = |z|$ — модуль комплексного числа $z$,

$\varphi = \arg(z)$ — аргумент комплексного числа $z$.

Модуль $r$ определяется как расстояние от точки $(x, y)$ на комплексной плоскости до начала координат (точки $0 + 0i$):

$$r = \sqrt{x^2 + y^2},$$

где $x$ — действительная часть числа, а $y$ — мнимая часть.

Аргумент $\varphi$ определяется как угол, который комплексное число образует с положительной осью действительных чисел. Этот угол можно вычислить через арктангенс:

$$\varphi = \arg(z) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right).$$

При этом важно учитывать, в какой четверти лежит комплексное число, так как стандартная функция арктангенса возвращает значения только на интервале от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, а значит, для чисел, лежащих в других четвертях, угол необходимо корректировать.

Теперь решим все части задачи.

а) $z = 5 = 5(1 + 0i)$

Запишем комплексное число в виде $z = 5 + 0i$. Это означает, что действительная часть $x = 5$, а мнимая часть $y = 0$.

Модуль числа $z$ находим по формуле:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5.$$

Аргумент числа $z$ можно найти, используя арккосинус:

$$\arg(z) = \arccos\left(\frac{x}{r}\right) = \arccos\left(\frac{5}{5}\right) = \arccos(1) = 0.$$

Это значит, что аргумент числа равен $0$, и число лежит на положительной оси действительных чисел.

Ответ:

$$z = 5(\cos 0 + i \sin 0).$$

б) $z = 3i = 3(0 + 1i)$

Запишем комплексное число $z = 3i$. Здесь действительная часть $x = 0$, а мнимая часть $y = 3$.

Модуль числа $z$ находим по формуле:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3.$$

Аргумент числа $z$ можно найти, используя арккосинус:

$$\arg(z) = \arccos\left(\frac{x}{r}\right) = \arccos\left(\frac{0}{3}\right) = \arccos(0).$$

Арккосинус 0 равен $\frac{\pi}{2}$, то есть аргумент $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$. Число $z$ лежит на положительной мнимой оси.

Ответ:

$$z = 3\left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right).$$

в) $z = -8 = 8(-1 + 0i)$

Запишем комплексное число $z = -8$. Это означает, что действительная часть $x = -8$, а мнимая часть $y = 0$.

Модуль числа $z$ находим по формуле:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8.$$

Аргумент числа $z$ можно найти, используя арккосинус:

$$\arg(z) = \arccos\left(\frac{x}{r}\right) = \arccos\left(\frac{-8}{8}\right) = \arccos(-1) = \pi.$$

Это значит, что аргумент числа равен $\pi$, и число лежит на отрицательной оси действительных чисел.

Ответ:

$$z = 8(\cos \pi + i \sin \pi).$$

г) $z = -0.5i = \frac{1}{2}(0 — 1i)$

Запишем комплексное число $z = -0.5i$. Это означает, что действительная часть $x = 0$, а мнимая часть $y = -0.5$.

Модуль числа $z$ находим по формуле:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.25} = \frac{1}{2}.$$

Аргумент числа $z$ можно найти, используя арксинус:

$$\arg(z) = \arcsin\left(\frac{y}{r}\right) = \arcsin\left(\frac{-0.5}{\frac{1}{2}}\right) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}.$$

Это значит, что аргумент числа равен $-\frac{\pi}{2}$, и число лежит на отрицательной мнимой оси.

Ответ:

$$z = \frac{1}{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right).$$