ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

a) 4 + 4i;

б) 1 — i;

в) — 2 + 2i;

г) — 2 — 2i.

Записать комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

а) $z = 4 + 4i = 4\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i\right);$

$|z| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{2 \cdot 4^2} = 4\sqrt{2};$

$\arg z = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4};$

Ответ: $z = 4\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right).$

б) $z = 1 — i = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}i\right);$

$|z| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2};$

$\arg z = \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\pi}{4};$

Ответ: $z = \sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).$

в) $z = -2 + 2i = 2\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i\right);$

$|z| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{2 \cdot 2^2} = 2\sqrt{2};$

$\arg z = \arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\pi}{4};$

Ответ: $2\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right).$

г) $z = -2 — 2i = 2\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} — \frac{1}{\sqrt{2}}i\right);$

$|z| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{2 \cdot 2^2} = 2\sqrt{2};$

$\arg z = -\pi + \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4};$

Ответ: $z = 2\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right).$

Комплексное число и тригонометрическая форма:

Комплексное число $z = a + bi$ можно записать в тригонометрической форме следующим образом:

$$z = r \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right),$$

где:

$r = |z|$ — модуль комплексного числа, который вычисляется по формуле:

$$r = \sqrt{a^2 + b^2},$$

где $a$ и $b$ — действительная и мнимая части комплексного числа соответственно.

$\varphi = \arg(z)$ — аргумент комплексного числа, который является углом, образующим комплексное число с положительным направлением оси $x$. Его можно найти, используя арктангенс:

$$\varphi = \arg(z) = \arctan \left( \frac{b}{a} \right).$$

Однако в зависимости от положения числа в комплексной плоскости, значение $\varphi$ можно откорректировать с помощью других функций, таких как $\arccos$ или $\arcsin$, а также учитывая квадрант.

Теперь, давайте перейдем к решению каждого пункта.

а) $z = 4 + 4i$

Запишем число в виде:

$$z = 4 + 4i.$$

Найдем модуль комплексного числа:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2},$$

где $a = 4$, а $b = 4$.

$$|z| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.$$

Найдем аргумент комплексного числа:

Для нахождения аргумента $\varphi$ используем формулу для косинуса:

$$\cos \varphi = \frac{a}{r}.$$

Подставим $a = 4$ и $r = 4\sqrt{2}$:

$$\cos \varphi = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Теперь, мы знаем, что:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}},$$

следовательно:

$$\varphi = \frac{\pi}{4}.$$

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, когда мы знаем и модуль, и аргумент, можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

$$z = 4\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right).$$

Ответ для пункта (а):

$$z = 4\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right).$$

б) $z = 1 — i$

Запишем число в виде:

$$z = 1 — i.$$

Найдем модуль комплексного числа:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2},$$

где $a = 1$, а $b = -1$.

$$|z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}.$$

Найдем аргумент комплексного числа:

Для нахождения аргумента $\varphi$, мы можем воспользоваться функцией $\arcsin$. Сначала вычислим:

$$\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Поэтому:

$$\varphi = \arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{\pi}{4}.$$

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Мы можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

$$z = \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right).$$

Ответ для пункта (б):

$$z = \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right).$$

в) $z = -2 + 2i$

Запишем число в виде:

$$z = -2 + 2i.$$

Найдем модуль комплексного числа:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2},$$

где $a = -2$, а $b = 2$.

$$|z| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$$

Найдем аргумент комплексного числа:

Для нахождения аргумента $\varphi$ воспользуемся формулой для косинуса:

$$\cos \varphi = \frac{a}{r}.$$

Подставим $a = -2$ и $r = 2\sqrt{2}$:

$$\cos \varphi = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Таким образом, $\varphi = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, зная модуль и аргумент, можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

$$z = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right).$$

Ответ для пункта (в):

$$z = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right).$$

г) $z = -2 — 2i$

Запишем число в виде:

$$z = -2 — 2i.$$

Найдем модуль комплексного числа:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2},$$

где $a = -2$, а $b = -2$.

$$|z| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$$

Найдем аргумент комплексного числа:

Для нахождения аргумента $\varphi$, воспользуемся функцией для синуса:

$$\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Таким образом:

$$\varphi = -\pi + \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}.$$

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, зная модуль и аргумент, можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

$$z = 2\sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{3\pi}{4} \right) \right).$$

Ответ для пункта (г):

$$z = 2\sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{3\pi}{4} \right) \right).$$