ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Записать комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

а) $z = \sqrt{3} + i = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \right);$

$$|z| = \sqrt{\left( \sqrt{3} \right)^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2;$$ $$\arg z = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6};$$

Ответ: $z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right).$

б) $z = -\sqrt{3} + i = 2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \right);$

$$|z| = \sqrt{\left( \sqrt{3} \right)^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2;$$ $$\arg z = \arccos \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\pi}{6};$$

Ответ: $z = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right).$

в) $z = 3\sqrt{3} — 3i = 6 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2}i \right);$

$$|z| = \sqrt{\left( 3\sqrt{3} \right)^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6;$$ $$\arg z = \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = -\arcsin \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{6};$$

Ответ: $z = 6 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right).$

г) $z = -2\sqrt{3} — 2i = 4 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2}i \right);$

$$|z| = \sqrt{\left( 2\sqrt{3} \right)^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4;$$ $$\arg z = -\pi + \arcsin \frac{1}{2} = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6};$$

Ответ: $z = 4 \left( \cos \left( -\frac{5\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{5\pi}{6} \right) \right).$

Комплексное число можно записать в стандартной тригонометрической форме как:

$$z = r \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right),$$

где:

$r = |z|$ — модуль комплексного числа, который вычисляется по формуле:

$$r = \sqrt{a^2 + b^2},$$

где $a$ — действительная часть, а $b$ — мнимая часть комплексного числа.

$\varphi = \arg(z)$ — аргумент комплексного числа, который является углом, образующим число с положительным направлением оси $x$. Он вычисляется с помощью арктангенса или других тригонометрических функций в зависимости от положения числа в комплексной плоскости.

Теперь давайте разберемся подробно, как преобразовать каждое комплексное число в тригонометрическую форму.

а) $z = \sqrt{3} + i$

Запишем число в стандартной форме:

$$z = \sqrt{3} + i.$$

Здесь $a = \sqrt{3}$ — действительная часть, а $b = 1$ — мнимая часть.

Найдем модуль комплексного числа:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Подставим $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$:

$$|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2.$$

Таким образом, модуль комплексного числа равен $2$.

Найдем аргумент $\varphi$ (угол):

Для нахождения аргумента $\varphi$ используем формулу для косинуса:

$$\cos \varphi = \frac{a}{r}.$$

Подставим $a = \sqrt{3}$ и $r = 2$:

$$\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Из известных значений косинуса мы знаем, что:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно, $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, зная модуль и аргумент, можем записать число в тригонометрической форме:

$$z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right).$$

Ответ для пункта (а):

$$z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right).$$

б) $z = -\sqrt{3} + i$

Запишем число в стандартной форме:

$$z = -\sqrt{3} + i.$$

Здесь $a = -\sqrt{3}$ — действительная часть, а $b = 1$ — мнимая часть.

Найдем модуль комплексного числа:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Подставим $a = -\sqrt{3}$ и $b = 1$:

$$|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2.$$

Модуль комплексного числа равен $2$.

Найдем аргумент $\varphi$ (угол):

Для нахождения аргумента $\varphi$ используем формулу для косинуса:

$$\cos \varphi = \frac{a}{r}.$$

Подставим $a = -\sqrt{3}$ и $r = 2$:

$$\cos \varphi = \frac{-\sqrt{3}}{2}.$$

Из известных значений косинуса мы знаем, что:

$$\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно, $\varphi = \frac{5\pi}{6}$, так как комплексное число находится во втором квадранте.

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, зная модуль и аргумент, можем записать число в тригонометрической форме:

$$z = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right).$$

Ответ для пункта (б):

$$z = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right).$$

в) $z = 3\sqrt{3} — 3i$

Запишем число в стандартной форме:

$$z = 3\sqrt{3} — 3i.$$

Здесь $a = 3\sqrt{3}$ — действительная часть, а $b = -3$ — мнимая часть.

Найдем модуль комплексного числа:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Подставим $a = 3\sqrt{3}$ и $b = -3$:

$$|z| = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6.$$

Модуль комплексного числа равен $6$.

Найдем аргумент $\varphi$ (угол):

Для нахождения аргумента $\varphi$ используем формулу для синуса:

$$\sin \varphi = \frac{b}{r}.$$

Подставим $b = -3$ и $r = 6$:

$$\sin \varphi = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}.$$

Из известных значений синуса мы знаем, что:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}.$$

Следовательно, $\varphi = -\frac{\pi}{6}$, так как комплексное число находится в четвертом квадранте.

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, зная модуль и аргумент, можем записать число в тригонометрической форме:

$$z = 6 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right).$$

Ответ для пункта (в):

$$z = 6 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right).$$

г) $z = -2\sqrt{3} — 2i$

Запишем число в стандартной форме:

$$z = -2\sqrt{3} — 2i.$$

Здесь $a = -2\sqrt{3}$ — действительная часть, а $b = -2$ — мнимая часть.

Найдем модуль комплексного числа:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Подставим $a = -2\sqrt{3}$ и $b = -2$:

$$|z| = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4.$$

Модуль комплексного числа равен $4$.

Найдем аргумент $\varphi$ (угол):

Для нахождения аргумента $\varphi$ используем формулу для синуса:

$$\sin \varphi = \frac{b}{r}.$$

Подставим $b = -2$ и $r = 4$:

$$\sin \varphi = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}.$$

Из известных значений синуса мы знаем, что:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}.$$

Таким образом:

$$\varphi = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}.$$

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, зная модуль и аргумент, можем записать число в тригонометрической форме:

$$z = 4 \left( \cos \left( -\frac{5\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{5\pi}{6} \right) \right).$$

Ответ для пункта (г):

$$z = 4 \left( \cos \left( -\frac{5\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{5\pi}{6} \right) \right).$$