ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Записать комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

а) $z = 4 — 4\sqrt{3}i = 8 \left( \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)$;

$|z| = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8;$

$\arg z = \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{3};$

Ответ: $z = 8 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right).$

б) $z = 1 + \sqrt{3}i = 2 \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right)$;

$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2;$

$\arg z = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3};$

Ответ: $z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right).$

в) $z = -2 — 2\sqrt{3}i = 4 \left( -\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i \right);$

$|z| = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4;$

$\arg z = -\pi + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = -\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3};$

Ответ: $z = 4 \left( \cos \left( -\frac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{2\pi}{3} \right) \right).$

г) $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i;$

$|z| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1;$

$\arg z = \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \pi — \arccos \frac{1}{2} = \frac{2\pi}{3};$

Ответ: $z = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}.$

Каждое комплексное число можно записать в тригонометрической форме как:

$$z = r \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right),$$

где:

$r = |z|$ — модуль комплексного числа, который вычисляется по формуле:

$$r = \sqrt{a^2 + b^2},$$

где $a$ — действительная часть, а $b$ — мнимая часть комплексного числа.

$\varphi = \arg(z)$ — аргумент комплексного числа, который можно вычислить через арктангенс, арксинус или арккосинус, в зависимости от положения числа в комплексной плоскости.

Теперь давайте детально разберем решение для каждого случая.

а) $z = 4 — 4\sqrt{3}i$

Запишем число в стандартной форме:

$$z = 4 — 4\sqrt{3}i.$$

Это комплексное число имеет действительную часть $a = 4$ и мнимую часть $b = -4\sqrt{3}$.

Найдем модуль комплексного числа:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Подставим значения $a = 4$ и $b = -4\sqrt{3}$:

$$|z| = \sqrt{4^2 + (-4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8.$$

Таким образом, модуль комплексного числа $z$ равен $8$.

Найдем аргумент $\varphi$ (угол):

Для нахождения аргумента $\varphi$, используем синус:

$$\sin \varphi = \frac{b}{r}.$$

Подставим значения $b = -4\sqrt{3}$ и $r = 8$:

$$\sin \varphi = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Из известных значений синуса мы знаем, что:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно:

$$\varphi = -\frac{\pi}{3}.$$

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, зная модуль $r = 8$ и аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{3}$, можем записать число в тригонометрической форме:

$$z = 8 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right).$$

Ответ для пункта (а):

$$z = 8 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right).$$

б) $z = 1 + \sqrt{3}i$

Запишем число в стандартной форме:

$$z = 1 + \sqrt{3}i.$$

Это комплексное число имеет действительную часть $a = 1$ и мнимую часть $b = \sqrt{3}$.

Найдем модуль комплексного числа:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Подставим значения $a = 1$ и $b = \sqrt{3}$:

$$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2.$$

Таким образом, модуль комплексного числа $z$ равен $2$.

Найдем аргумент $\varphi$ (угол):

Для нахождения аргумента $\varphi$, используем формулу для косинуса:

$$\cos \varphi = \frac{a}{r}.$$

Подставим значения $a = 1$ и $r = 2$:

$$\cos \varphi = \frac{1}{2}.$$

Из известных значений косинуса мы знаем, что:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.$$

Следовательно:

$$\varphi = \frac{\pi}{3}.$$

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, зная модуль $r = 2$ и аргумент $\varphi = \frac{\pi}{3}$, можем записать число в тригонометрической форме:

$$z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right).$$

Ответ для пункта (б):

$$z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right).$$

в) $z = -2 — 2\sqrt{3}i$

Запишем число в стандартной форме:

$$z = -2 — 2\sqrt{3}i.$$

Это комплексное число имеет действительную часть $a = -2$ и мнимую часть $b = -2\sqrt{3}$.

Найдем модуль комплексного числа:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Подставим значения $a = -2$ и $b = -2\sqrt{3}$:

$$|z| = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4.$$

Таким образом, модуль комплексного числа $z$ равен $4$.

Найдем аргумент $\varphi$ (угол):

Для нахождения аргумента $\varphi$, используем синус:

$$\sin \varphi = \frac{b}{r}.$$

Подставим значения $b = -2\sqrt{3}$ и $r = 4$:

$$\sin \varphi = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Из известных значений синуса мы знаем, что:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно:

$$\varphi = -\frac{\pi}{3}.$$

Однако это значение находится в третьем квадранте, поэтому необходимо скорректировать его:

$$\varphi = -\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}.$$

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, зная модуль $r = 4$ и аргумент $\varphi = -\frac{2\pi}{3}$, можем записать число в тригонометрической форме:

$$z = 4 \left( \cos \left( -\frac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{2\pi}{3} \right) \right).$$

Ответ для пункта (в):

$$z = 4 \left( \cos \left( -\frac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{2\pi}{3} \right) \right).$$

г) $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

Запишем число в стандартной форме:

$$z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i.$$

Это комплексное число имеет действительную часть $a = -\frac{1}{2}$ и мнимую часть $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем модуль комплексного числа:

Модуль $r = |z|$ вычисляется по формуле:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Подставим значения $a = -\frac{1}{2}$ и $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$|z| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1.$$

Модуль комплексного числа $z$ равен $1$.

Найдем аргумент $\varphi$ (угол):

Для нахождения аргумента $\varphi$, используем косинус:

$$\cos \varphi = \frac{a}{r}.$$

Подставим значения $a = -\frac{1}{2}$ и $r = 1$:

$$\cos \varphi = -\frac{1}{2}.$$

Из известных значений косинуса мы знаем, что:

$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}.$$

Следовательно:

$$\varphi = \frac{2\pi}{3}.$$

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, зная модуль $r = 1$ и аргумент $\varphi = \frac{2\pi}{3}$, можем записать число в тригонометрической форме:

$$z = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}.$$

Ответ для пункта (г):

$$z = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}.$$