ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

a) sin35° — icos35°;

б) sin(-23°) + icos(-23°);

в) -sin40° + icos40°;

г) sin(-20°) — isin(-70°).

а) $z = \sin 35^\circ — i \cos 35^\circ = \cos(90^\circ — 35^\circ) — i \sin(90^\circ — 35^\circ)$;

$z = \cos 55^\circ — i \sin 55^\circ = \cos(-55^\circ) + i \sin(-55^\circ)$;

б) $z = \sin(-23^\circ) + i \cos(-23^\circ) = -\sin 23^\circ + i \cos 23^\circ$;

$z = \cos(90^\circ + 23^\circ) + i \sin(90^\circ + 23^\circ) = \cos 113^\circ + i \sin 113^\circ$;

в) $z = -\sin 40^\circ + i \cos 40^\circ = \cos(90^\circ + 40^\circ) + i \sin(90^\circ + 40^\circ)$;

$z = \cos 130^\circ + i \sin 130^\circ$;

г) $z = \sin(-20^\circ) — i \sin(-70^\circ) = -\sin 20^\circ + i \sin 70^\circ$;

$z = \cos(90^\circ + 20^\circ) + i \cos(90^\circ — 70^\circ) = \cos 110^\circ + i \cos 20^\circ$;

$$$z = \cos 110^\circ + i \sin(90^\circ + 20^\circ) = \cos 110^\circ + i \sin 110^\circ$

В стандартной тригонометрической форме комплексное число выражается как:

$$z = r \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right),$$

где:

$r = |z|$ — модуль комплексного числа, который вычисляется по формуле:

$$r = \sqrt{a^2 + b^2},$$

где $a$ — действительная часть, а $b$ — мнимая часть комплексного числа.

$\varphi = \arg(z)$ — аргумент комплексного числа, который является углом, образующим комплексное число с положительным направлением оси $x$.

Для перехода от представления в тригонометрической форме к стандартной форме и наоборот, также можно использовать соотношения между синусом и косинусом, а также их сдвигами.

Теперь давайте перейдем к решению для каждого пункта.

а) $z = \sin 35^\circ — i \cos 35^\circ$

Запишем комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

$$z = \sin 35^\circ — i \cos 35^\circ.$$

Используем идентичности тригонометрии:
Мы можем выразить $z$ через угол $55^\circ$, используя стандартные тригонометрические тождества:

$$\sin 35^\circ = \cos(90^\circ — 35^\circ) \quad \text{и} \quad \cos 35^\circ = \sin(90^\circ — 35^\circ).$$

Тогда:

$$z = \cos 55^\circ — i \sin 55^\circ = \cos(-55^\circ) + i \sin(-55^\circ).$$

Это стандартная тригонометрическая форма, и мы видим, что аргумент равен $-55^\circ$.

Ответ для пункта (а):

$$z = \cos(-55^\circ) + i \sin(-55^\circ).$$

б) $z = \sin(-23^\circ) + i \cos(-23^\circ)$

Запишем комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

$$z = \sin(-23^\circ) + i \cos(-23^\circ).$$

Используем идентичности тригонометрии:
Мы знаем, что:

$$\sin(-23^\circ) = -\sin 23^\circ \quad \text{и} \quad \cos(-23^\circ) = \cos 23^\circ.$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$z = -\sin 23^\circ + i \cos 23^\circ.$$

Используем стандартные тригонометрические тождества:

$$-\sin 23^\circ + i \cos 23^\circ = \cos(90^\circ + 23^\circ) + i \sin(90^\circ + 23^\circ),$$

так как $\cos(90^\circ + \theta) = -\sin \theta$ и $\sin(90^\circ + \theta) = \cos \theta$.

Ответ для пункта (б):

$$z = \cos 113^\circ + i \sin 113^\circ.$$

в) $z = -\sin 40^\circ + i \cos 40^\circ$

Запишем комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

$$z = -\sin 40^\circ + i \cos 40^\circ.$$

Используем идентичности тригонометрии:
Мы знаем, что:

$$-\sin 40^\circ = \cos(90^\circ + 40^\circ),$$

так как $\cos(90^\circ + \theta) = -\sin \theta$. Поэтому:

$$z = \cos(90^\circ + 40^\circ) + i \sin(90^\circ + 40^\circ).$$

Решаем для углов:

$$z = \cos 130^\circ + i \sin 130^\circ.$$

Ответ для пункта (в):

$$z = \cos 130^\circ + i \sin 130^\circ.$$

г) $z = \sin(-20^\circ) — i \sin(-70^\circ)$

Запишем комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

$$z = \sin(-20^\circ) — i \sin(-70^\circ).$$

Используем идентичности тригонометрии:

$$\sin(-20^\circ) = -\sin 20^\circ \quad \text{и} \quad \sin(-70^\circ) = -\sin 70^\circ.$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$z = -\sin 20^\circ + i \sin 70^\circ.$$

Используем стандартные тригонометрические тождества:

$$-\sin 20^\circ + i \sin 70^\circ = \cos(90^\circ + 20^\circ) + i \cos(90^\circ — 70^\circ).$$

Мы использовали идентичности:

$$\cos(90^\circ + \theta) = -\sin \theta \quad \text{и} \quad \cos(90^\circ — \theta) = \sin \theta.$$

Запишем в окончательной тригонометрической форме:

$$z = \cos 110^\circ + i \cos 20^\circ.$$

Или можно записать в более стандартной форме:

$$z = \cos 110^\circ + i \sin 110^\circ.$$

Ответ для пункта (г):

$$z = \cos 110^\circ + i \sin 110^\circ.$$

Итоговые ответы:

а) $z = \cos(-55^\circ) + i \sin(-55^\circ)$

б) $z = \cos 113^\circ + i \sin 113^\circ$

в) $z = \cos 130^\circ + i \sin 130^\circ$

г) $z = \cos 110^\circ + i \sin 110^\circ$