ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Записать комплексное число в стандартной тригонометрической форме:

а) $z = 1 — \cos 100^\circ + i \sin 100^\circ$;

$z = (\sin^2 50^\circ + \cos^2 50^\circ) — (\cos^2 50^\circ — \sin^2 50^\circ) + i \sin 100^\circ$;

$z = 2 \sin^2 50^\circ + 2i \sin 50^\circ \cdot \cos 50^\circ = 2 \sin 50^\circ \cdot (\sin 50^\circ + i \cos 50^\circ)$;

$z = 2 \sin 50^\circ \cdot (\cos(90^\circ — 50^\circ) + i \sin(90^\circ — 50^\circ))$;

$z = 2 \sin 50^\circ \cdot (\cos 40^\circ + i \sin 40^\circ)$;

б) $z = \sin \frac{4\pi}{7} + i \left( 1 — \cos \frac{4\pi}{7} \right)$;

$z = \sin \frac{4\pi}{7} + i \left( \left( \sin^2 \frac{2\pi}{7} + \cos^2 \frac{2\pi}{7} \right) — \left( \cos^2 \frac{2\pi}{7} — \sin^2 \frac{2\pi}{7} \right) \right)$;

$z = 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cdot \cos \frac{2\pi}{7} + 2i \sin^2 \frac{2\pi}{7} = 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cdot \left( \cos \frac{2\pi}{7} + i \sin \frac{2\pi}{7} \right)$;

в) $z = \sin \frac{6\pi}{11} + i \left( 1 — \cos \frac{6\pi}{11} \right)$;

$z = \sin \frac{6\pi}{11} + i \left( \left( \sin^2 \frac{3\pi}{11} + \cos^2 \frac{3\pi}{11} \right) — \left( \cos^2 \frac{3\pi}{11} — \sin^2 \frac{3\pi}{11} \right) \right)$;

$z = 2 \sin \frac{3\pi}{11} \cdot \cos \frac{3\pi}{11} + 2i \sin^2 \frac{3\pi}{11} = 2 \sin \frac{3\pi}{11} \cdot \left( \cos \frac{3\pi}{11} + i \sin \frac{3\pi}{11} \right)$;

г) $z = 1 — \cos 250^\circ + i \sin 610^\circ$;

$z = 1 — \cos (180^\circ + 70^\circ) + i \sin (540^\circ + 70^\circ) = 1 + \cos 70^\circ — i \sin 70^\circ$;

$z = (\sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ) + (\cos^2 35^\circ — \sin^2 35^\circ) — i \sin 70^\circ$;

$z = 2 \cos^2 35^\circ — 2i \sin 35^\circ \cdot \cos 35^\circ = 2 \cos 35^\circ \cdot (\cos 35^\circ — i \sin 35^\circ)$;

$z = 2 \sin (90^\circ + 35^\circ) \cdot (\cos 35^\circ — i \sin 35^\circ)$;

$z = 2 \sin 125^\circ \cdot (\cos(-35^\circ) + i \sin(-35^\circ))$

Комплексное число в стандартной тригонометрической форме имеет вид:

$$z = r \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right),$$

где:

$r = |z|$ — модуль комплексного числа, который вычисляется по формуле:

$$r = \sqrt{a^2 + b^2},$$

где $a$ и $b$ — действительная и мнимая части комплексного числа соответственно.

$\varphi = \arg(z)$ — аргумент комплексного числа, который является углом, образующим комплексное число с положительным направлением оси $x$.

Теперь давайте разберем каждое комплексное число, шаг за шагом, и подробно объясним каждый этап.

а) $z = 1 — \cos 100^\circ + i \sin 100^\circ$

Запишем комплексное число в стандартной форме:

Дано:

$$z = 1 — \cos 100^\circ + i \sin 100^\circ.$$

Мы видим, что эта запись не совсем стандартная, но, используя тригонометрические тождества, преобразуем её.

Применим тригонометрические тождества:

Разделим на два выражения:

$$z = (\sin^2 50^\circ + \cos^2 50^\circ) — (\cos^2 50^\circ — \sin^2 50^\circ) + i \sin 100^\circ.$$

Здесь применено тождество $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, и затем использованы другие тождества, чтобы представить выражение через функции синуса и косинуса с углами $50^\circ$.

Используем тождества для преобразования:

Преобразуем дальше:

$$z = 2 \sin^2 50^\circ + 2i \sin 50^\circ \cdot \cos 50^\circ.$$

Это преобразуется в:

$$z = 2 \sin 50^\circ \cdot (\sin 50^\circ + i \cos 50^\circ).$$

Запишем в тригонометрической форме:

Теперь используем тождества для синуса и косинуса:

$$z = 2 \sin 50^\circ \cdot (\cos(90^\circ — 50^\circ) + i \sin(90^\circ — 50^\circ)).$$

Так как $\cos(90^\circ — \theta) = \sin \theta$ и $\sin(90^\circ — \theta) = \cos \theta$, получаем:

$$z = 2 \sin 50^\circ \cdot (\cos 40^\circ + i \sin 40^\circ).$$

Ответ для пункта (а):

$$z = 2 \sin 50^\circ \cdot (\cos 40^\circ + i \sin 40^\circ).$$

б) $z = \sin \frac{4\pi}{7} + i \left( 1 — \cos \frac{4\pi}{7} \right)$

Запишем комплексное число в стандартной форме:

Дано:

$$z = \sin \frac{4\pi}{7} + i \left( 1 — \cos \frac{4\pi}{7} \right).$$

Используем тригонометрические тождества:

Для упрощения используем тождества, как и в предыдущем примере:

$$z = \sin \frac{4\pi}{7} + i \left( \left( \sin^2 \frac{2\pi}{7} + \cos^2 \frac{2\pi}{7} \right) — \left( \cos^2 \frac{2\pi}{7} — \sin^2 \frac{2\pi}{7} \right) \right).$$

Применяем формулы для синуса и косинуса:

Упростим дальше:

$$z = 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cdot \cos \frac{2\pi}{7} + 2i \sin^2 \frac{2\pi}{7}.$$

Запишем в тригонометрической форме:

Теперь представим в стандартной тригонометрической форме:

$$z = 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cdot \left( \cos \frac{2\pi}{7} + i \sin \frac{2\pi}{7} \right).$$

Ответ для пункта (б):

$$z = 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cdot \left( \cos \frac{2\pi}{7} + i \sin \frac{2\pi}{7} \right).$$

в) $z = \sin \frac{6\pi}{11} + i \left( 1 — \cos \frac{6\pi}{11} \right)$

Запишем комплексное число в стандартной форме:

Дано:

$$z = \sin \frac{6\pi}{11} + i \left( 1 — \cos \frac{6\pi}{11} \right).$$

Используем тригонометрические тождества:

Используем аналогичные шаги:

$$z = \sin \frac{6\pi}{11} + i \left( \left( \sin^2 \frac{3\pi}{11} + \cos^2 \frac{3\pi}{11} \right) — \left( \cos^2 \frac{3\pi}{11} — \sin^2 \frac{3\pi}{11} \right) \right).$$

Упрощаем:

Преобразуем:

$$z = 2 \sin \frac{3\pi}{11} \cdot \cos \frac{3\pi}{11} + 2i \sin^2 \frac{3\pi}{11}.$$

Запишем в тригонометрической форме:

Таким образом, окончательное представление будет:

$$z = 2 \sin \frac{3\pi}{11} \cdot \left( \cos \frac{3\pi}{11} + i \sin \frac{3\pi}{11} \right).$$

Ответ для пункта (в):

$$z = 2 \sin \frac{3\pi}{11} \cdot \left( \cos \frac{3\pi}{11} + i \sin \frac{3\pi}{11} \right).$$

г) $z = 1 — \cos 250^\circ + i \sin 610^\circ$

Запишем комплексное число в стандартной форме:

Дано:

$$z = 1 — \cos 250^\circ + i \sin 610^\circ.$$

Применяем углы и приведение их в стандартный диапазон:

Преобразуем углы:

$$\cos 250^\circ = \cos (180^\circ + 70^\circ) \quad \text{и} \quad \sin 610^\circ = \sin (540^\circ + 70^\circ).$$

Таким образом, получаем:

$$z = 1 + \cos 70^\circ — i \sin 70^\circ.$$

Используем тождества:

Далее, используя идентичности для синуса и косинуса:

$$z = (\sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ) + (\cos^2 35^\circ — \sin^2 35^\circ) — i \sin 70^\circ.$$

Преобразуем окончательно:

Упростив, получаем:

$$z = 2 \cos^2 35^\circ — 2i \sin 35^\circ \cdot \cos 35^\circ.$$

Это представление можно записать как:

$$z = 2 \cos 35^\circ \cdot (\cos 35^\circ — i \sin 35^\circ).$$

Запишем в тригонометрической форме:

Окончательная форма:

$$z = 2 \sin (90^\circ + 35^\circ) \cdot (\cos 35^\circ — i \sin 35^\circ).$$

Ответ для пункта (г):

$$z = 2 \sin 125^\circ \cdot (\cos(-35^\circ) + i \sin(-35^\circ)).$$

Итоговые ответы:

а) $z = 2 \sin 50^\circ \cdot (\cos 40^\circ + i \sin 40^\circ)$

б) $z = 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cdot \left( \cos \frac{2\pi}{7} + i \sin \frac{2\pi}{7} \right)$

в) $z = 2 \sin \frac{3\pi}{11} \cdot \left( \cos \frac{3\pi}{11} + i \sin \frac{3\pi}{11} \right)$

г) $z = 2 \sin 125^\circ \cdot (\cos(-35^\circ) + i \sin(-35^\circ))$